Circonferenza: formule ed equazioni

La circonferenza con formule cerchio e raggio

Cos’è la circonferenza, la definizione di cerchio circonferenza, e dei suoi componenti: raggio, diametro, secante, tangente, archi, corda e semicirconferenze. Le formule e le equazioni che ne derivano. Analisi della circonferenza nel piano cartesiano, nel piano complesso e nello spazio. Casi particolare di circonferenza.

Possiamo definire la circonferenza in geometria come una linea curva tracciata su di un piano in maniera equidistante da un punto fisso. Tale punto si chiama centro della circonferenza, mentre si definisce raggio la distanza di questa linea dal centro stesso.

Spesso si confonde il termine circonferenza con quello di cerchio ma è bene ricordare che se si parla di cerchio si intende la superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa.

I componenti della circonferenza:

Tutte le circonferenze sono simili e di conseguenza la circonferenza è proporzionale al raggio: 2πr. Calcolo della circonferenza

Secante: è una retta che incontra una circonferenza in due punti.

Tangente: è una retta che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza. Ricordiamo che il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente.

Archi e Semicirconferenze: Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza stessa in due archi, quando i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze.

Corda: è il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza.

Diametro: è la corda di lunghezza massima, ovvero quella che passa per il centro ed equivale in maniera evidente al doppio del raggio.

Asse radicale: l’asse radicale di due o più circonferenze è definito come la retta passante per gli eventuali punti in comune (punti base), intersecando le due equazioni. La retta che passa per i centri delle circonferenze è perpendicolare all’asse radicale.

Vediamo insieme quali sono le principali formule legate alla circonferenza, come calcolarne la lunghezza e le altre variabili.

Per calcolare la lunghezza di una circonferenza ci basterà moltiplicare il doppio del raggio per pigreco ovvero:

Crf= 2r x π

La formula si può semplificare in questo modo:

Crf= d x π (dove d sta per diametro, ovvero due volte il raggio)

Ovviamente π sta per pi greco (π = 3,14159265…)

Circonferenza nel piano cartesiano.

Secondo le regole della geometria analitica, detta anche geometria cartesiana, una circonferenza in un piano può essere descritta utilizzando le coordinate x e y. Da qui si sviluppa l’equazione cartesiana della circonferenza che possiamo esprimere nel seguente modo:

(x - a)^2 + (y - ß)^2 = r^2

Dove in un sistema di assi cartesiani Oxy, la circonferenza ha centro (a,ß) e raggio r.

L’equazione sopracitata può essere scritta anche nella sua forma canonica:

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

Se il centro della circonferenza è l’origine (0,0), l’equazione diventa:

x^2 + y^2 = r^2.

La circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario è chiamata circonferenza goniometrica.

L’equazione di un cerchio invece è data da:

x^2 + y^2 <_ r^2

Circonferenza nel piano complesso

Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R può essere espressa dall'equazione parametrica:

z(t) = Re^it

Circonferenza nello spazio

Una circonferenza nello spazio può essere identificata come l'intersezione di una sfera S con un piano p.

Possiamo calcolare il raggio di una circonferenza utilizzando il teorema di Pitagora.

Casi particolari:

considerando l'equazione della circonferenza: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 possiamo definire tre casi particolari attribuendo il valore zero rispettivamente a: c, b, a.

(C=0) Circonferenza passante per l'origine degli assi

L'equazione della circonferenza sarà:

x^2 + y^2  + ax + by = 0 

Si può allora osservare che l'equazione è verificata dalla coppia (0,0) ne segue che il punto O=(0;0) sta sulla circonferenza, quindi che la circonferenza passa per l'origine degli assi.

(b=0) Circonferenza con centro sull'asse delle x.

L'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2  + ax + c = 0  

In questo caso avremo il centro C=(-a/2;0) sull'asse delle x.

(a=0) Circonferenza con centro sull'asse delle y.

L'equazione della circonferenza diventa:

x^2 + y^2  + by + c = 0  

In questo caso avremo il centro C=(0: -b/2) sull'asse delle y.

One Response

  1. electropower 26 giugno 2011

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