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Conversione analogico digitale: la tecnica dell'undersampling

Conversione analogico digitale: la tecnica dell'undersampling

Quando si parla di campionare un segnale contenuto in una banda limitata B, tutti sanno che la frequenza di campionamento deve essere opportunamente scelta al fine di evitare la perdita d’informazione. La teoria che descrive la tecnica del campionamento fa spesso riferimento al criterio di Nyquist, il quale enuncia che la frequenza di campionamento fc deve essere scelta almeno pari al doppio della massima frequenza fmax contenuta nel segnale d’interesse, ovvero:

 fc ≥ 2 fmax

   Questo valore discende dal fatto che durante il campionamento si vengono a generale delle repliche del segnale intorno alla frequenza di campionamento, ovvero fc-B e fc+B,  come riportato in Figura 1.

Esmpio Campionamento

Figura 1: Repliche del segnale generate durante il processo di
campionamento

   Si capisce che se fc dovesse scendere al di sotto del doppio della frequenza massima, si avrebbe la sovrapposizione delle repliche con il segnale in banda base (problema noto come aliasing), con conseguente perdita d’informazione.

 

   Applicando il criterio di Nyquist, nel caso in cui si abbia un segnale di banda 5MHz, compreso tra 15MHz e 20MHz (si veda Figura 2), si ha che la massima frequenza del segnale e’ di 20MHz. In accordo con il criterio di Nyquist la frequenza di campionamento dovrà essere di almeno 40MHz, ovvero sarà necessario un ADC con frequenza di campionamento almeno di 40MHz.

Normalmente per rilassare il filtro antialiasing si cerca di mantenere le varie repliche ad una certa distanza, evitando cioè il caso limite.

   L’esempio appena mostrato rappresenta la strada frequentemente seguita al fine di campionare il segnale d’interesse senza perdita d’informazione. In realtà c’e’ anche un’altra strada che e’ possibile seguire, ed in particolare conduce alla scelta di ADC con frequenza di campionamento più basso, ovvero più economico.

   A questo punto e’ bene ricordare il teorema sul campionamento di Shannon, il quale enuncia che la frequenza di campionamento di un segnale di banda compreso tra la frequenza f1 e f2, cioè B= f2-f1, deve essere almeno il doppio della banda del segnale stesso, ovvero:

 fc ≥ 2B

   Apparentemente tale teorema sembra uguale al criterio di Nyquist, quando invece non lo e’. Il teorema di Shannon e’ infatti una generalizzazione del teorema di Nyquist,  ovvero il criterio di Nyquist e’ un caso particolare del teorema di Shannon. I due teoremi vengono a coincidere quando il segnale e’ posto in banda base, ovvero a partire da 0Hz.

   In particolare Shannon non dice che la frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della frequenza massima del segnale, bensì pari ad almeno al doppio della banda di quest’ultimo.

Riprendendo l’esempio precedente si ha che la frequenza di campionamento può essere (come caso limite) di  soli 10MHz, poiché la banda del segnale e’ di 5MHz, indipendentemente dalla sua localizzazione sullo spettro.

   A questo punto si capisce che la frequenza di campionamento a cui deve operare l’ADC e’ molto inferiore, facendo dunque ricadere la scelta ad ADC più economici. Questo permette anche di rilassare il numero di calcoli richiesti dal DSP o FPGA, riducendo ulteriormente i  costi.  Il divario tra le due frequenze di campionamento può essere anche maggiore qualora il segnale risulti traslato ancor più di quanto descritto nell’esempio.

  Nonostante l’ADC possa avere una frequenza di campionamento di soli 10MHz, e’ però necessario che le sue performance dinamiche siano buone anche alla frequenza a cui e’ posizionato il segnale di banda B. Nel nostro esempio visto che il segnale d’interesse ha una frequenza massima di 25MHz, vorrà dire che l’ADC dovrà avere una FPBW (Full Power Bandwidth ) di almeno 25MHz,  oltre a buone performance generali (ENOB, SFDR). L’esempio appena descritto fa uso della tecnica che va sotto il nome di tecnica undersampling (da non confondere con la decimazione). Tale nome discende dal fatto che la frequenza di campionamento e’ inferiore a quella che verrebbe usata seguendo il criterio di Nyquist. Quanto appena detto spiega per quali ragioni sia facile trovare ADC la cui FPBW e’ 10 volte maggiore della banda di Nyquist (ovvero pari al doppio della frequenza di campionamento).

   La tecnica dell’undersampling permette di non perdere informazioni poiché il segnale di banda B posizionato ad una determinata frequenza viene riportato in banda base (o prima banda di Nyquist) grazie al fatto che durante il campionamento vengono generate componenti armoniche a frequenza multipla della frequenza di campionamento, rispetto alle quali il segnale viene ad essere ulteriormente campionato, creando segnali a frequenza nfc-B e nfc+B, dove n e’ un intero maggiore di 0. Si capisce dunque che il segnale traslato viene riportato in banda base proprio dalle armoniche associate ai multipli della frequenza di campionamento. In Figura 2 e’ riportato il caso dell’esempio precedente. E’ visibile che una replica del segnale e’ riportata in banda base per mezzo dell’armonica pari a 2fc, ovvero 2fc-B rappresenta la replica in banda base. La replica 2fc+B fra 35MHz e 40MHz,  sarà facilmente eliminabile per mezzo di filtri.

Esempio Undersampling

Figura 2: Esempio di undersamplig

   La tecnica dell’undersampling e’ utilizzata come valida alternativa ai processi di demodulazione che fanno uso dei Mixer per riportare il segnale in banda base, per esempio in apparecchi radio e stazioni base per cellulari (base station).

Ulteriori  Tutorial e Progetti  dell'Autore possono essere trovati al sito www.LaurTec.com

 

 

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