Elettronica a basso rumore, tra magia nera e falsi profeti II

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Come dagli impegni presi, anche se con ingiustificabile ritardo, eccomi ad illustrare nei dettagli l'esempio numerico che mostra come la minimizzazione della figura di rumore non implica la massimizzazione del rapporto segnale rumore in uscita.

La figura iniziale, riportata qui di seguito,

è lo schema di principio di un sistema sensore-amplificatore. Le caratteristiche di rumore dell'amplificatore si suppongono note e fisse. Esse vengono schematizzate con due generatori in ingresso proprio come accade nella più diffusa letteratura scientifica.

Sia A l’amplificazione del doppio bipolo e Zi la sua impedenza d’ingresso (non indicata). Siano inoltre:
Se la densità spettrale del generatore di rumore in tensione, supposta nota e pari a 10^-18 V^2/Hz
Si la densità spettrale del generatore di rumore in corrente, anch’essa nota e pari a 10^-24 A^2/Hz
St la densità spettrale del rumore generato dalla impedenza di sorgente e pari a 4KTRs
Su la densità spettrale del segnale utile.
Da questi dati, applicando le regole di dualità esistenti tra il calcolo simbolico e analisi spettrale è possibile scrivere l’SNR in uscita.

La formula (1)

indica proprio l'SNR, ossia il rapporto tra il valor quadratico medio del segnale utile e il valor quadratico medio del rumore totale in uscita. Sul segnale utile non sono state fatte ipotesi particolari, si è supposto solo che sia descrivibile da un processo aleatorio di tipo stazionario.

Dove Δf indica la banda di lavoro ed inoltre, ça va sans dire, l’SNR in questo caso è da intendersi come rapporto tra il valor quadratico medio del segnale utile e il valor quadratico medio del rumore. Semplificando si ottiene:

Semplificando si ottiene la (2).

Nella (3)

si ipotizza l'impedenza puramente resistiva e per la resistenza di sorgente il valore che minimizza la cifra di rumore (come indicato in letteratura) e si calcola il relativo SNR ottenendo la (4).

Analogamente nella (5),

si suppone per essa  un valore diverso (valore di comodo ai fini della dimostrazione) e si calcola il SNR. Facendo il rapporto dei due SNR, si ottiene il paradosso.
Si potrebbero fare altri esempi di tipo diverso che porterebbero alla stessa conclusione. Ad esempio, si potrebbe supporre un sistema sorgente-BJT dove l'unico parametro libero è la corrente di collettore. Si potrebbe dimostrare che scegliendo la corrente di polarizzazione che minimizza la figura di rumore, l'SNR non è massimizzato!
 

Nota: ho utilizzato le densità spettrali, ma identici risultati si ottengono con le medie temporali dei segnali in gioco elevati al quadrato.

One Response

  1. Piero Boccadoro Piero Boccadoro 10 gennaio 2013

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