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Geometria facile e bella

Geometria facile

La storia della geometria e le varie ramificazioni di questa disciplina. Descrizione e applicazioni della geometria al giorno d'oggi. Com'è nata e quali sono i diversi tipi di geometria. Geometria elementare, Geometria piana, Geometria euclidea, Geometria analitica, Geometria descrittiva, Geometria solida, Geometria molecolare, Geometria delle aree. Definizioni e letture sulla geometria.

Come la matematica ed i suoi enigmi anche la geometria suscita spesso un grande interesse nell'uomo, una curiosità legata alla sua storia e ai misteri delle sue forme. Si dice che la geometria, letteralmente tradotta come "misura della terra" sia nata ai tempi degli Egizi, più precisamente dalla necessità da parte di questo popolo di delineare i confini delle proprie terre spesso cancellati dalle inondazioni del Nilo.

La storia della geometria è dunque ricca di aneddoti e personaggi che contribuiscono ad accrescerne il fascino e l'interesse, matematici di ogni epoca, Euclide su tutti, ma anche astronomi, ingegneri e così via. Al giorno d'oggi la geometria trova applicazioni in ogni campo quasi a volersi distaccare dal suo primitivo impiego e disegnare utilizzi più astratti.

Con Euclide questa scienza prende una dimensione vera e propria, il matematico greco fu infatti il primo a racchiudere tutte le conoscenze geometriche del suo tempo in un unica opera chiamata "Gli Elementi".

Tutt'oggi la geometria gioca un ruolo fondamentale nella nostra vita, basta pensare all'utilizzo quotidiano che ognuno di noi fa delle figure geometriche... Ovviamente esistono discipline che dipendono totalmente dai principi geometrici o che addirittura hanno visto la luce proprio partendo da essa, per citarne alcune: l'architettura, l'astronomia, la pittura e così via.

Parlare di geometria è però molto riduttivo se si tralasciano tutte le ramificazioni che partono appunto da questa disciplina. Esistono infatti diversi tipi di geometrie e cercheremo di toccarle tutte in questo articolo, con una breve descrizione e qualche esempio per ogni categoria. Più precisamente possiamo dividere la geometria in questi sottoinsiemi: Geometria piana, Geometria euclidea, Geometria analitica, Geometria descrittiva, Geometria solida, Geometria molecolare, Geometria delle aree.

Innanzitutto possiamo dire che per geometria si intende l'analisi delle figure geometriche, le quali non sono altro che un insieme di punti, ovvero linee, superfici e solidi, siano essi limitati o infiniti, aperti o chiusi. il punto, la retta e il piano posso essere definiti elementi di geometria elementare.

Partendo da questi presupposti possiamo iniziare a parlare di geometria:

La geometria piana:

La geometria piana si occupa dello studio di figure geometriche nel piano, ovvero di quelle figure che hanno due dimensioni. Possiamo citare alcune di queste figure come esempio: il quadrato, il triangolo, l'esagono e così via, tutte costruite partendo dal concetto elementare di retta o segmento. C'è da dire che le figure in geometria si sviluppano in estensione e per tanto si possono misurare la lunghezza, l'angolo e l'area. E' chiaro che ogni segmento ha una lunghezza e che la somma delle lunghezze dei singoli segmenti di una figura darà il suo perimetro. Quando due di questi segmenti si incontrano in un estremo formano un angolo, mentre possiamo definire l'area come l'estensione superficiale di un poligono, cioè la misura della sua superficie.

La geometria euclidea:

Come già detto in precedenza Euclide fu il primo ad inserire tutte le conoscenze riferite al suo periodo storico in un' unica opera, tale opera chiamata "Gli Elementi" fu destinata a rimanere nella storia come una tra le più importanti mai scritte. Con il termine geometria euclidea definiamo quindi quella geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide, presenti appunto nel suo manoscritto, e in particolar modo sul postulato delle parallele.

Le geometrie che prendono vita in maniera autonoma rispetto ai postulati di Euclide vengono dette " Geometrie non euclidee" e nascono negando il quinto postulato. Prima di citare i cinque postulati racchiusi nell'opera di Euclide, dai quali poi si svilupperanno vari teoremi matematici, andiamo a vedere cosa significa e cosa si indica in matematica con la parola assioma o postulato. In ambito matematico si chiamano postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri.

Di seguito riportiamo i cinque postulati di Euclide:

    1)Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.

    2)Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.

    3)Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.

    4)Tutti gli angoli retti sono uguali.

    5)Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

Per quanto riguarda le geometrie non euclidee esse si dividono in geometria Ellittica e geometria Iperbolica. La prima fu il frutto del lavoro di Bernhard Riemann un matematico tedesco, mentre quella Iperbolica, detta anche di Lobachevsky nacque dalla collaborazione di più matematici.

Se volete approfondire le vostre conoscenze su Euclide e sulle geometrie non euclidee potete trovare dei riferimenti in questo articolo: Le geometrie non Euclidee

La geometria analitica:

La geometria analitica è lo studio della geometria attraverso il sistema di coordinate dette cartesiane, per tanto viene spesso definita anche geometria cartesiana. Si introducono quindi nuovi concetti come il piano cartesiano dove ogni punto è determinato dalle sue coordinate sui due piani: asse delle ascisse (x) e asse delle ordinate (y). La geometria analitica fu studiata per primo da da Nicola d'Oresme nel Medio Evo. Grazie alla geometria cartesiana si sviluppano le equazioni, le disequazioni e gli insiemi di entrambe detti sistemi. I temi toccati da questo tipo di geometria sono numerosi, tra i più importanti: lo spazio vettoriale, la definizione di piano, i problemi sulla distanza e i problemi di intersezione.

La geometria descrittiva:

La geometria descrittiva è quel ramo della geometria che permette, attraverso determinate costruzioni geometriche, di rappresentare oggetti bidimensionali e tridimensionali. La rappresentazione di tali oggetti può essere eseguita su uno o più piani e può inoltre essere di due tipi: rilievo e progettazione. Nel primo caso si tratta di rappresentazioni di oggetti già esistenti, mentre nel secondo di oggetti da costruire (come ad esempio in ambito di progettazione).

La geometria solida:

La geometria solida studia le costruzioni geometriche nello spazio ovvero quelle figure geometriche chiamate solidi e formate da punti tutti compresi in uno spazio tridimensionale. Con la geometria solida si prende in considerazione un terzo asse, l'asse delle z altre ai soliti assi x e y considerati in geometria piana. L'asse z indica la profondità della figura (solido) e con la sua introduzione fa la comparsa anche una nuova misura, quella del volume. Oltre al volume i solidi posseggono altri elementi che le figure piane non hanno come: le facce, gli spigoli, i vertici, gli angoli diedri e gli angoloidi. Vediamo insieme le definizioni di questi nuovi elementi:

Le facce sono dei poligoni che delimitano il volume del solido, mentre gli spigoli non sono altro che i lati di queste facce. Un vertice non è altro che il punto in cui convergono tre facce di un poliedro. L'angolo diedro invece è quell'angolo che si genera dall'intersezione di due piani nello spazio, pertanto si tratta di un angolo tridimensionale. Infine l'angoloide è la regione di spazio delimitata da 3 (minimo) o più facce che convergono verso uno stesso vertice e deve essere per forza inferiore a 360 gradi.

La geometria molecolare:

La geometria molecolare è quel ramo della geometria che, come suggerisce il nome, si occupa dello studio delle molecole e della loro disposizione. Più precisamente questa geometria indica come si orientano gli atomi in una molecola nello spazio. In poche parole la struttura di una molecola dipende dal numero di legami tra gli atomi che la compongono, proprio in base a questi legami e agli elettroni di valenza, la molecola prende forma.

Possiamo avere diversi tipi di legami: quelli singoli, quelli doppi ed infine tripli. La geometria molecolare si basa sulla VSEPR (Valence Shell Electron Pair Repulsion) ovvero la teoria della repulsione. Per analizzare la disposizione geometrica degli atomi si utilizza quindi questa teoria, secondo la quale ogni coppia di elettroni coinvolta nel legame esercita una repulsione verso le altre. Tali coppie vengono definite "coppie di valenza".

La geometria delle aree:

Per quanto riguarda la geometria della aree vi rimando ad una lettura, non essendo in grado di fornirne un sunto di persona vorrei infatti evitare di commettere errori, per tanto vi consiglio di leggere il libro: "Geometria delle masse e geometria delle aree" di Catalani Vincenzo.

Come al solito vi consiglio anche qualche altra lettura se volete approfondire i concetti sopra citati; infatti in questo articolo mi sono limitato ad una semplice esposizione dei concetti base sulla geometria, senza entrare nello specifico. Ecco quindi alcuni testi storici nei quali potete trovare una risposta a tutte le vostre domande, alcuni in italiano mentre altri in inglese:

"Questioni riguardanti la geometria elementare" di Federigo Enriques, matematico, storico della scienza e filosofo italiano.

"Elementi di Geometria ad uso delle scuole superiori" sempre di Federigo Enriques.

"Gli elementi di Euclide e la critica antica e moderna" e "Lezioni di geometria descrittiva" dello stesso matematico livornese.

"Lezioni di geometria analitica e proiettiva" e "Elementi di geometria analitica e proiettiva Roma" di Guido Castelnovo, matematico e statistico italiano.

"Introduction to Geometry", "Non-Euclidean Geometry" e "Projective geometry 2nd end" di Harold Coxeter, matematico inglese.

Se invece volete qualcosa di più recente vi consiglio di dare un'occhiata a:

"Geometry: Euclid and Beyond"

"Handbook of Incidence Geometry. Bulidings and Foundations"

"Diagram Geometries"

Come per la matematica anche in geometria esistono numerosi giochini logici, basati più che altro sulla costruzione delle figure le loro rappresentazioni, in futuro cercherò di proporne qualcuno.

Concludo augurando una buona lettura a tutti.

 

 

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