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I filtri notch

 filtri notch

Si espone qui il metodo di dimensionamento dei filtri a eliminazione di banda, anche detti filtri notch, che assai spesso tornano utili nella pratica circuitale

Generalità

I filtri a eliminazione di banda, detti anche filtri notch o a reiezione di banda sono quei filtri che, mentre attenuano più o meno energicamente i segnali di frequenza compresa fra due valori f1 e f2, lasciano passare i segnali la cui frequenza è compresa fra un valore zero e un valore f1 e fra un valore f2 e un valore teoricamente infinito. La curva di risposta di un filtro a reiezione di banda è quindi, in generale, quella riportata nella figura 1 dove con f1 e f2 si sono indicate le frequenze di taglio a – 3 dB. Il filtro notch ha un’ampia applicazione. Si pensi, per esempio, alla possibilità, proprio tramite questo filtro, di eliminare il classico ronzio dei 50 Hz della frequenza di rete. Il circuito è comunque un circuito risonante – figura 2 – e pertanto, dovendo essere eguali la reattanza induttiva (XL = ωL) e la reattanza capacitiva (XC = 1 / ω C), varrà sempre l’espressione:

filtri_notch_formula_1

(1)

Poiché l’impedenza vista dai morsetti di ingresso è:

filtri_notch_formula_2

si comprende come alla frequenza di risonanza, ossia a quella frequenza alla quale risultano eguali le reattanze capacitiva e induttiva, il circuito assume un comportamento puramente resistivo. Alla frequenza di risonanza si ha infatti:

Z = R

Dalla [1] si ricava inoltre:

ω2LC = 1

e quindi anche:

filtri_notch_formula_3

(2)

 

dove fn è la frequenza notch. Selettività del circuito Si consideri la curva di cui alla figura 1. La differenza B = f2 – f1 definisce la banda interdetta. Questa banda è tanto più stretta quanto più è elevato il cosiddetto coefficiente di risonanza Q che, tenendo conto della condizione imposta dalla [1], assume l’espressione:

filtri_notch_formula_4

(3)

La banda interdetta B è strettamente correlata a Q essendo infatti:

B = fn / Q (4)

La [4] evidenzia che il circuito di cui alla figura 2 è tanto più selettivo quanto più è elevato il valore del coefficiente Q. La figura 3 fornisce una chiara dimostrazione dell’affermazione. La curva interna è la risposta a un circuito del tipo esposto nella figura 2 dimensionato per un coefficiente Q pari a 5 e fn = 1 kHz, mentre la curva esterna è la risposta dello stesso circuito dimensionato sempre per fn = 1 kHz, ma per un fattore Q = 2.

Curva di risposta in frequenza caratteristica di un filtro notch.

Fig. 1 - Curva di risposta in frequenza caratteristica di un filtro notch.

Il coefficiente Q implica una diversa ampiezza della banda passante B

Fig. 3 - Il coefficiente Q implica una diversa ampiezza della banda passante B. Più Q è elevato più stretta sarà la banda passante e più selettivo sarà quindi il filtro.

È evidente come passando dal primo al secondo caso aumenti l’ampiezza della banda passante e diminuisca quindi la selettività del circuito. È pertanto sempre valida l’espressione [4] dove con fn si è indicata la frequenza notch, ossia la frequenza alla quale, in banda interdetta, l’attenuazione è massima. In conclusione: la banda passante B è da intendersi come rapporto fra la frequenza notch fn e il coefficiente Q. Tanto più è elevato il valore di quest’ultimo tanto minore sarà l’ampiezza di B (e viceversa).

Criteri di dimensionamento

Discendono dalle espressioni su riportate. È sufficiente infatti tener conto che dalla [3] si ricava:

filtri_notch_formula_4_0

(5)

e dalla [2] si ha:

filtri_notch_formula_5

(6)

Per cui noti i valori della resistenza R, della frequenza notch desiderata e del fattore Q imposto si perviene immediatamente ai valori da attribuire alla capacità e all’induttanza. Esempio 1 Si dimensioni un filtro notch per una frequenza fn = 5 kHz e coefficiente Q = 10. Si attribuisca alla resistenza R il valore di 50 Ω. Soluzione Dall’espressione [5] si ricava:

filtri_notch_formula_6.jpg

La curva di risposta del filtro appena dimensionato è riportata nella figura 4 a. La frequenza notch cade proprio a 5 kHz, mentre a – 3 dB le frequenze di taglio, indicate dalla posizione dei marker verticali a e b, sono:

f2 = Xa = 5236 Hz
f1 = Xb = 4738 Hz

Essendo B = f2 – f1, la banda passante ha ampiezza:

B = 5236 – 4738 = 498 Hz

E non poteva essere diversamente. Per l’espressione [4], infatti, per fn = 5 kHz e Q = 10, la banda passante B doveva necessariamente essere di circa 500 Hz (5000/10 = 500). La figura 4 b, del tutto identica alla 4 a, evidenzia l’attenuazione del filtro alla frequenza notch. Questa attenuazione è circa eguale a 64 dB. Si legge, infatti: Yc = – 64,22 dB. Ciò significa che un segnale in ingresso, per esempio, di 1 V da picco a picco, alla frequenza notch fn = 5 kHz avrà un’ampiezza da picco a picco di circa 630 μV.

Curva_di_risposta_del_filtro_notch

Fig. 4a - Curva di risposta del filtro di cui alla figura 2 dimensionato per una frequenza notch di 5 kHz e fattore Q = 10.

attenuazione_filtro_frequenza_notch_5_kHz

Fig. 4b - Questa curva, identica alla curva di cui alla figura 4 a, evidenzia l’attenuazione del filtro alla frequenza notch di 5 kHz.

Filtro notch a doppio T

Un filtro notch a cui si fa spesso riferimento quando non si richiedono elevati valori del coefficiente Q e per frequenze notch non superiori ad alcuni megahertz, è riportato nella figura 5. Le espressioni utili a determinare il valore da attribuire ai vari componenti sono:

C1 = C2 = 1 / (105 x fn) (7)

C3 = 2 C1 (8)

Poiché la frequenza notch fn, posto R1=R2=R eC1=C2=C, è fornita dall’espressione:

filtri_notch_formula_7

(9)

per i valori da attribuire alle resistenze R1 e R2 si ha:

filtri_notch_formula_8

[11]

Il filtro a doppio T è spesso utilizzato quando si debba eliminare il disturbo a 50 Hz della frequenza di rete.

Filtro_notch_a_doppio_T

Curva_di_risposta_del_filtro_notch

Fig. 6 - Curva di risposta in frequenza del filtro notch di cui alla figura 5 dimensionato per una frequenza fn= 50 Hz.

Esempio 2

Si dimensioni il filtro di cui alla figura 5 per una frequenza fn = 50 Hz.

Soluzione - Applicando le espressioni [7] / [11] si ricava: C1=C2=1/(105×50)=200 nF

filtri_notch_formula_9

La figura 6 riporta la curva di risposta del filtro qui dimensionato. La frequenza notch fn cade proprio a 50 Hz (si legge, infatti: Xa = 50 Hz). La banda passante è notevolmente ampia e vale:

B = f2 – f1 = 200 Hz

La stessa banda è indicata dalla posizione reciproca dei marker a e b. Si legge, infatti (a – b) = 200 Hz. Ricavando il fattore Q dalla [4] si ha:

Q = fn / B = 50 / 200 = 0,25

Il valore di Q, sebbene modesto, è in genere accettabile per le finalità di utilizzazione del filtro che, alla frequenza notch di 50 Hz, determina un’attenuazione di circa 66 dB.

stadi_buffer_input_output

Fig. 7 - Per svincolare il funzionamento del filtro dall’impedenza di ingresso e dall’impedenza del carico si può sempre ricorrere a due stadi buffer posti l’uno in input e l’altro in output.

Infine, poiché l’impedenza di ingresso del filtro è molto bassa e le caratteristiche del filtro possono subire modifiche anche significative se in uscita è collegato un carico elevato, ossia di basso valore ohmico, per svincolarne il funzionamento si potrà sempre ricorrere a due stadi buffer in input e in output cosi come mostra la figura 7.

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