La distorsione armonica nei data converters

L’interpretazione del segnale prodotto da un data-converter (numerico o analogico a seconda che si tratti di un ADC o di un DAC) può risultare talvolta complicata dalla presenza di una serie di disturbi di entità quasi confrontabile con quella del segnale utile e sovrapposti ad esso. Uno dei fenomeni in grado in determinare tali disturbi è la distorsione armonica, dovuta agli ineliminabili effetti di non linearità introdotti da qualunque circuito analogico subito a monte dell’ADC o subito a valle del DAC. In questo articolo, discutiamo il problema della distorsione armonica nei data-converters: per ciascuno dei casi A/D e D/A, costruiamo una simulazione Octave con l’obiettivo di determinare le relazioni tra le frequenze delle armoniche di distorsione e la frequenza della armonica fondamentale. Tali relazioni costituiranno un utile criterio per l’individuazione delle armoniche di distorsione nella analisi dello spettro di uscita di un qualunque data-converter reale.

INTRODUZIONE

In un numero sempre crescente di applicazioni di signal processing, i vantaggi offerti da un’elaborazione digitale superano di gran lunga quelli di un condizionamento puramente analogico, sia sul piano dei costi che su quello delle prestazioni e della flessibilità (un sistema di elaborazione digitale è per sua natura pienamente riconfigurabile). All’interfaccia tra il mondo analogico dei segnali che hanno un senso fisico e il mondo digitale dei segnali che hanno un senso puramente numerico si collocano, naturalmente, i data converters: all’ingresso di un sistema di processing numerico, sia esso basato su DSP o su FPGA, troviamo un ADC (Analog-to-Digital Converter), alla sua uscita un DAC (Digital-to-Analog Converter).
Una buona conoscenza dei data converters appare quindi fondamentale ad una corretta integrazione del processing numerico nel sistema fisico che si intende monitorare e/o controllare. In particolare, uno dei molti aspetti da non trascurare nell’utilizzo di un data converter è sicuramente la distorsione armonica. Nei paragrafi che seguono presenteremo allora sul piano teorico, in termini generali, le cause e gli effetti di questo fenomeno; il problema sarà poi discusso nell’ambito specifico dei data converters: tramite appositi script Octave, verrà quindi mostrato l’effetto della distorsione armonica all’uscita rispettivamente di un ADC e di un DAC.

SISTEMI DINAMICI E DISTORSIONE ARMONICA

Un modello estremamente utile in ingegneria è quello dei sistemi dinamici LTI (Lineari Tempo-Invarianti): da un punto di vista puramente matematico, un qualunque segnale di uscita di un sistema di questa classe può essere espresso come una combinazione lineare dei suoi segnali di ingresso e delle loro derivate, opportunamente scalati per coefficienti di valore costante nel tempo. Il comportamento di questi sistemi può cioè essere descritto da una categoria assai semplice di equazioni differenziali: a partire dalle proprietà di tali equazioni è possibile trarre una serie di considerazioni che rendono l’analisi di questi sistemi particolarmente semplice.
Limitandoci al dominio dei segnali armonici, è infatti possibile dedurre come, applicando in ingresso ad un sistema LTI segnali puramente sinusoidali, se ne otterranno uscite puramente sinusoidali: questo è garantito dalla considerazione che la derivata di una sinusoide è ancora una sinusoide; inoltre, la combinazione lineare di sinusoidi è, a sua volta, una sinusoide. Le ricadute pratiche di questa considerazione sono poi enormi se la si associa all’utilizzo di un ben noto strumento di analisi dei segnali, ovvero la trasformata di Fourier, che consente di rappresentare qualunque segnale temporale nel dominio della frequenza (le stesse considerazioni sono applicabili anche a segnali di qualunque altra variabile indipendente, come per esempio lo spazio, ma per ragioni di semplicità consideriamo il caso più tipico di segnali temporali).
Tuttavia, quello dei sistemi LTI è naturalmente un modello ideale, rispetto al quale un sistema reale può risultare più o meno aderente: di norma, le non linearità di un sistema reale (quale per esempio un circuito elettrico) sono limitate finché il sistema opera entro certe condizioni ben definite. L’effetto di tali non linearità osservabile all’uscita del sistema può essere descritto in maniera semplice nel dominio della frequenza: applicando un ingresso puramente sinusoidale, l’uscita del sistema risulta composta dalla sinusoide alla stessa frequenza dell’ingresso (detta armonica fondamentale) e da una serie di armoniche a frequenze multiple (ciascuna delle quali è detta appunto armonica di distorsione di ordine pari al coefficiente intero che moltiplica la frequenza fondamentale). La giustificazione matematica di questo comportamento è facilmente individuabile nelle identità trigonometriche che consentono, ad esempio, di esprimere il quadrato di un coseno in termini di un coseno di frequenza doppia, il cubo in funzione di un coseno di frequenza tripla, e così via. L’ampiezza delle armoniche di distorsione risulterà decrescente con l’ordine e la loro entità nel complesso sarà tanto maggiore quanto maggiore è la non linearità del sistema.
Ma cosa succede se il segnale di ingresso non è una sinusoide pura? Consideriamo l’esempio semplice in cui il segnale di ingresso sia composto da due sinusoidi: anche in questo caso, tramite le identità trigonometriche è possibile intuire come la non linearità si manifesterà sull’uscita tramite la comparsa, oltre alle due armoniche fondamentali, di tutte le cosiddette armoniche di intermodulazione, che sono di fatto armoniche a frequenze ottenibili come combinazione lineare delle frequenze di ingresso, di ampiezza via via decrescente al crescere del loro ordine.

EFFETTI DELLA DISTORSIONE ARMONICA NEGLI ADC

Consideriamo ora la conversione A/D di un segnale puramente sinusoidale: qualunque circuito di condizionamento a monte dell’ADC, con le sue non linearità, avrà introdotto delle armoniche di distorsione che risultano ora applicate all’ingresso del nostro convertitore. Per semplicità, assumiamo che l’ADC operi come un campionatore ideale, senza introdurre ulteriori [...]

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Una risposta

  1. Maurizio Di Paolo Emilio Maurizio Di Paolo Emilio 8 febbraio 2017

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