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La presa intermedia nelle induttanze. Un po' di matematica e qualche considerazione pratica 2

La presa intermedia nelle induttanze

Solenoidi
Per il classico solenoide in aria (che in gergo è più facile chiamare bobina) l’induttanza può essere calcolata a partire dalle dimensioni fisiche tramite una ben nota espressione che, seppur approssimata, è adatta a moltissimi casi pratici. Con riferimento alla figura 6 si ha dove D è il diametro su cui si avvolge la bobina in mm, N è il numero di spire da cui è composta, l è la sua lunghezza sempre in mm e il risultato è l’induttanza L espressa in μH.

Dimensioni_di_un_solenoide
Fig. 6 - Dimensioni di un solenoide

Se si riprende la situazione della figura 5 si può pensare di applicare la relazione precedente (4) prima a tutta la bobina, e poi a ciascun pezzo di induttanza (da una parte e dall’altra della presa intermedia). Chiamando le tre induttanze così calcolabili L, L1 e L2, rispettivamente, ci si potrà facilmente rendere conto che L1 + L2 < L. Un esempio numerico potrà essere più convincente: supponiamo di aver avvolto 10 spire su un supporto di 4mm di diametro per una lunghezza totale di 8mm e di aver aggiunto una presa intermedia alla 3± spira. Allora le tre induttanze potranno essere calcolate come sotto

presa_intermedia_induttanze_formula_5

dove si è usato, per la supposta equispaziatura delle spire:

presa_intermedia_induttanze

e si nota subito che L1 + L2 = 0.138μH è inferiore a L = 0.1607μH Ma se si continua l’analisi a partire dalle (2) e si cerca di ricavare l’espressione della L, ovvero dell’induttanza vista fra i morsetti 1 e 3, a partire dai valori di L1 e L2 si ottiene l’espressione (si vedano i passaggi in appendice)

presa_intermedia_induttanze

(5)

quando i versi degli avvolgimenti siano quelli indicati. Quindi, quello che “manca” alla L dalla somma di L1 e L2 sarà dovuto alla mutua induzione fra di esse e quest’ultima potrà essere ricavata dall’espressione

presa_intermedia_induttanze

(6)

Quindi il valore della mutua induttanza potrà essere ottenuto una volta calcolate a pezzi le induttanze del solenoide e applicando la (6) come fatto nel precedente esempio numerico per il quale si otterràM=0.002265μH ovvero, ricordando la (3) k = 0.382 che è un valore ben più basso dell’unità tale da non giustificare il comportamento di un solenoide con presa intermedia come un autotrasformatore per frequenza industriale. Con tutti questi valori si può ora descrivere al nostro simulatore preferito la bobina con la presa centrale che si ha intenzione di utilizzare, ad esempio per fare Si ottengono i valori
L = 526nH,
L1 = L2 = 219nH
e quindi
M = 44nH ovvero k = 0.201.

Misurando la bobina con uno strumento abbastanza preciso (un HP4815) e tenendo conto dei parassiti della sonda dello stesso strumento [6] si sono ottenuti
i valori
L = 550nH , L1 = 220nH,
L2=235nH
che si discostano da quanto calcolato di +4.5%, +0.5%, +7.3%, rispettivamente.

Si consideri che in misure di questo ordine di grandezza (centinaia di nH) non è difficile commettere qualche errore di misura; in più è da tener presente un errore sistematico dovuto al non aver considerato l’induttanza dei terminali che dal corpo della bobina portano la connessione al supporto della bobina stessa e al misuratore. Ne risultano M=47.5nH e k =0.209, ovvero un +4% sul valore di k, perfettamente in linea con le precisioni di misura e con l’accuratezza della (4).
Altre misure fatte su bobine con numero di spire, diametro, posizione della presa intermedia diverse da queste hanno dato risultati con errori fra il calcolato e il misurato dello stesso ordine di grandezza. Nel caso di solenoidi non in aria, ma con un nucleo ferromagnetico la situazione è decisamente più complessa.

Non siamo nella situazione precedentemente descritta perchè la maggior parte delle linee di flusso del campo magnetico passeranno attraverso il nucleo ferromagnetico ma una parte di esse continuerà a passare in aria e in ogni caso il circuito magnetico sarà per una parte nel nucleo ma si dovrà in buona parte richiudere in aria fra le due estremità del solendoide. Quindi ci si dovrà aspettare un k maggiore di quello calcolato precedentemente ma inferiore all’unità.

Questa analisi è molto più difficile della precedente visto che non è possibile utilizzare una espressione come la (4). Infatti i tre pezzi di induttanza risentiranno differentemente della presenza del nucleo ferromagnetico, ancora peggio se il nucleo è inserito parzialmente e investe più una parte della bobina rispetto ad un’altra. L’unica cosa che si può fare -con facilità- in questi casi è partire da un valore di k calcolato come in precedenza e poi maggiorarlo di alcune decine di punti percentuali (almeno per nuclei con μr = 2÷5 al massimo) fino a che non si arrivi a far coincidere i risultati della simulazione con la pratica, facendo delle misure su di un circuito più semplice. Poi si utilizzerà il valore di k così trovato per il circuito, più complesso, d’interesse.


Toroidi
Se invece di un solenoide in aria si intende utilizzare un nucleo toroidale i libri di testo ci dicono che l’induttanza su di un nucleo toroidale sarà esprimibile come L=ALN2 dove N è il numero delle spire e AL è una costante dipendente dalle dimensioni fisiche del nucleo e dalla sua permeabilità magnetica (μr); esistono delle espressioni per calcolare AL dalle dimensioni fisiche del toroide ma più probabilmente sarà utile consultare i data-sheet dei costruttori di nuclei toroidali da cui ricavare tale valore. Porre attenzione al fatto che alcuni costruttori (la Amidon, ad esempio) forniscono tale coefficiente per 100 spire, mentre nell’espressione precedente è dato per singola spira (e c’è un quadrato di mezzo).

Facciamo ora conto di avere sempre la situazione circuitale della figura 5 ma realizzata questa volta su di un nucleo toroidale. Le espressioni delle induttanze dei due pezzi L1 e L2 saranno questa volta

L1=ALn2
L2=AL(N-n)2

E data la semplicità delle espressioni sarà possibile esplicitare in forma analitica l’espressione della mutua induzione sostituendo le espressioni precedenti nella (6), ovvero

presa_intermedia_induttanze

ma esplicitando la (3) con i valori sopra indicati per L1 e L2 si può ottenere anche

presa_intermedia_induttanze_formula_10

E confrontando le due espressioni precedenti non si può altro che concludere che in questo caso dovrà essere proprio k = 1, come ci si poteva aspettare perchè i nuclei toroidali sono quelli a minor flusso disperso che si possa realizzare (e in linea teorica il flusso disperso sarà esattamente nullo, da cui k=1). Quindi in questo caso valgono le considerazioni fatte all’inizio a cui ci si è richiamati come il caso dell’autotrasformatore di rete.

Altre induttanze

Tutto questo ci ha permesso di capire che tutte le volte che si vorrà analizzare il modello di una induttanza con una presa centrale sarà necessario partire dalla conoscenza di tutti e tre i valori delle induttanze dei due pezzi separati dalla presa centrale come se fossero induttanze separate e isolate e dell’induttanza totale considerata come se la presa centrale non esistesse. E questa operazione la si fa a partire dalle espressioni che permettono di passare dalle dimensioni fisiche all’induttanza; poi si utilizzeranno le equazioni (6) e (3) per calcolarsi tutti i parametri utili per le simulazioni o per i calcoli a mano. E non è detto che questo sia facile come nei casi sopra presentati (che però sono anche i più comuni). Nel caso di induttanze con più prese intermedie si tratterà solo di complicare un po’ le espressioni ma concettualmente il discorso resta valido.

Bobina continua
Come conclusione di questa trattazione vorrei applicare i risultati ad un altro caso della progettazione che apparentemente sembra non averci nulla a che fare ma che invece deriva dagli stessi risultati ottenuti nel paragrafo precedente. Dovevo progettare un semplice filtro passa basso per un finale di un trasmettitore e la scelta era ricaduta su un classico filtro L-C secondo l’approssimazione di Butterworth a tre induttanze nel ramo longitudinale e quattro condensatori verso massa. Niente di più facile, tanto per dire basta prendere [1] e andare al capitolo “Electrical Fundamentals” dove ci sono già i valori tabulati e poi con due espressioncine semplici si ricavano i valori di L e C necessari per le frequenze e impedenze richieste.
Il problema in questo caso riguardava la realizzazione meccanica del filtro (grosse potenze in gioco, poco spazio a disposizione) e una soluzione che mi venne in mente fu quella di utilizzare non tre bobine separate (che fra l’altro ritenevo di dover tenere ben disaccoppiate, con gli assi ortogonoali, in modo che non si influenzassero a vicenda) ma un’unica bobina (da qui il nome di “bobina continua”) con due prese centrali.

Il dubbio lecito che sorgeva era, però, se -anche ritoccando i valori dei componenti rispetto al progetto iniziale a bobine separate- si potesse arrivare alle stesse prestazioni ora che la bobina era tutt’una. Il sopracitato simulatore della Ansoft metteva a disposizione il modello e quindi era facile valutare come avrei dovuto fare questi cambiamenti: con mia sorpresa vidi che lasciando i valori così com’erano il filtro si comportava quasi allo stesso modo del progetto iniziale a bobine separate. E con un ritocco dei valori di meno del 10% si potevano riottenere esattamente le stesse caratteristiche! Questo mi fece iniziare a pensare che le due parti di un solenoide con una presa intermedia non fossero tanto accoppiate... il resto della storia è scritto sopra.
Poco tempo fa, inoltre, mi sono imbattuto in un progetto di filtro armonico per un convertitore sulla banda dei 70MHz che utilizza proprio una bobina con diverse prese intermedie; l’autore non parla di questa soluzione e non si sofferma sulla teoria di questa progettazione ma le prestazioni che riporta sembrano di tutto rispetto: www.70mhz.org/g4cjzlpf.htm, anche se non si tratta di un filtro classico come quello a cui accennavo prima.

Appendice

Se si considera la figura 5 e si pone i2 = 0 nella prima delle (2) si ottiene

presa_intermedia_induttanze

i due termini in cui compare M sono dovuti alla mutua induzione che il flusso generato dalla L1 si concatena sulla L2 e viceversa, pertanto sono due termini uguali. Raggruppando tutti i termini dell’espressione precedente notando che tutti hanno a comune un fattore jω si ottiene

presa_intermedia_induttanze

e per confronto con la prima delle (1) si ottiene proprio la (5).

Riferimenti bibliografici
[1] ARRL Handbook 1996
[2] L. Olivieri, E. Ravelli Elettrotecnica vol I, CEDAM 1955
[3] M. Pezzi Elettrotecnica generale II ed, Zanichelli 1986
[4]G. Martinelli, M. Salerno Fondamenti di elettrotecnica vol I, Siderea 1986
[5] Appunti di lezione del prof Amleto Penasso 1986-1987 ITI L. da Vinci - Firenze
[6] L. Pieri et al Misure di impedenza con l’RF Vector Impedance Meter HP4815A: correzione per gli elementi parassiti pubblicazione interna IROE - CNR, Aprile 1991 una amplificatore accordato.
Un altro esempio corredato di misure potrà facilitare la comprensione: l’induttanza della figura 1 è composta da 15.5 spire avvolte su di un diametro di 5mm per una lunghezza totale di 9mm con la presa intermedia a metà avvolgimento (negli schemi sono solito indicare questa induttanza come 15.5SD5L9F0.5P7.75 se il filo utilizzato sia di 0.5mm di diametro).

radiokit elettronica

 

 

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