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La presa intermedia nelle induttanze. Un po' di matematica e qualche considerazione pratica

presa intermedia nelle induttanze

Vi siete mai chiesti come si comporti una induttanza con una presa intermedia come ad esempio quella della figura 1? La risposta che viene in mente subito è che effettua una trasformazione d’impedenza in base al rapporto spire; come succede ad esempio fra la bassa impdenza del collettore e quella più alta che si vuol far vedere al circuito risonante.

Ma se si vuole andare più sul quantitativo si è tentati di dire che il rapporto fra le impedenze sia pari al rapporto spire al quadrato fra le spire totali e quelle della presa intermedia, come per gli autotrasformatori di alimentazione. E questo, come ci si può accorgere in pratica, non è sempre vero.

Per anni ho tralasciato di approfondire questo aspetto teorico, in attesa di averne veramente bisogno, e ritenendo che fosse un problema piuttosto complesso; e invece la soluzione è molto più semplice del previsto per questo voglio condividere la risoluzione di questo problema che a lungo ho volutamente ignorato. I modelli matematici dei componenti elettronici Quando uno si trova fra le mani un “coso” come quello della figura 2 sa benissimo che potrà studiarne il comportamento in un circuito sfruttando la relazione fra le grandezze di interesse data dall’espressione matematica:

v = Ri

con riferimento alla parte sinistra della figura 3. Anche nel caso di condensatori ed induttanze, in regime alternato, sono ben note -e facili da usare- le relazioni:

presa_intermedia_induttanze_formula_1

(1)

Al più se si vuole condurre un’analisi accurata si potranno considerare anche i parassiti che costituiscono i componenti reali: ad esempio per la resistenza della figura 2 potremmo considerare il circuito equivalente a destra nella figura 3. Questo è quello che si dice individuare un modello: cioè una rappresentazione matematica in grado di descrivere le grandezze d’interesse (in questo caso tensione e corrente) dell’oggetto fisico di cui ci si sta occupando.

presa_intermedia_induttanze_componente

E questa è la parte difficile del lavoro di analisi dei circuiti: la risoluzione dell’equazione alle maglie, ai nodi o in altri ambiti delle equazioni di Maxwell può essere un lavoro lungo, faticoso, che richiede una notevole potenza di calcolo (mentale o di un calcolatore), ma nei problemi di tutti i giorni questa è una operazione “meccanica” che in qualche modo la si risolve.

Ben più difficile invece è passare dalla conoscenza esteriore dell’oggetto fisico (una resistenza, un condensatore, un transistor, ecc) alla sua rappresentazione come insieme di relazioni che descrivano tensioni e correnti fra i suoi terminali (o magari altre grandezze come potrebbe essere l’emissione luminosase si volesse studiare un LED).

resistenza_modelli_matematici

Inutile dire che una parte consistente dell’attività scientifica di tutti i tempi è stata ed è la riduzione di un fenomeno o di un oggetto ad un modello matematico...
Rivolgendo nuovamente lo sguardo ai nostri circuiti si può vedere come ci siano componenti la cui descrizione (o modello se si vuole usare una terminologia più diffusa) sia particolarmente semplice come per quelli riportati sopra. Ci sono poi componenti la cui analisi risulta particolarmente difficile per la necessità di conoscere la fisica più intima dei semiconduttori o altro ancora; per fortuna c’è chi si è occupato di tradurre questi fenomeni in quelli che sono noti ai più come parametri h, y, S, per i transistor, ad esempio.

Ma anche i circuiti RF passivi possono presentare qualche difficoltà nell’analisi. Iniziamo a pensare alle mutue induzioni: il circuito della figura 4 può essere descritto dalle relazioni:

presa_intermedia_induttanze_formula_2

(2)

Concettualmente semplici ma non proprio pratiche da utilizzare facendoci i calcoli a mano ... mi si potrebbe dire che per questo ci sono i simulatori: ormai se ne trovano di buone caratteristiche come software libero o comunque come software che in qualche modo si riesce ad usare anche senza avere le disponibilità finanziarie di un laboratorio di ricerca per le licenze... no? I simulatori che ho avuto per le mani io non permettono generalmente di introdurre un componente “bobina con presa intermedia” o simili, a meno di utilizzare un simulatore di fascia piuttosto alta, ma questa è roba da industria, non da radioamatori.

Vediamo allora come sia possibile convertire la classica bobina da 10 spire con la presa intermedia per il collettore del transistor alla terza spira in qualcosa di comprensibile per tutti i simulatori (SPICE compreso) o magari per qualche ardimentoso che voglia farsi i conti a mano.

Come descrivere un’induttanza con una presa intermedia

Il primo simulatore con cui ebbi a che fare che prevedeva fra i suoi modelli (o componenti come impropriamente li chiamava) la bobina con presa intermedia è stato il Designer della Ansoft. Leggendo il manuale nel capitolo che descriveva i vari modelli feci una piacevole scoperta. Nelle note bibliografiche si riportavano le fonti da cui erano stati presi i modelli e per quanto riguardava quello del “solenoide con presa intermedia” si rimandava a una nostra vecchia conoscenza [1] ! Qualcuno dei miei colleghi a vederlo questo riferimento bibliografico storse un po’ il naso: eh si, l’ambito radioamatoriale ha diminuito moltissimo la sua considerazione nell’ambiente professionale. Ma questo non mi scoraggiò per nulla, invece, anzi mi dissi subito che avrei finalmente capito come si potesse facilmente “fare i conti” con i circuiti contenenti induttanze con prese intermedie.

Ah, mi scordavo di dire che sia a scuola che all’università questo problema l’avevo posto a più di un insegnante, ma le risposte erano state molto vaghe, svicolanti o addirittura mi era stato detto che il problema non era interessante, che non ne avrei mai avuto bisogno... “ora si fa tutto con le microstrisce” [sic]!

Bene, allora partiamo da quanto di più generale ci possa essere considerando una generica induttanza con una presa intermedia, poi si applicherà la cosa a dei casi pratici di realizzazione di questa induttanza. Innanzitutto bisogna decidere cosa si intende per “induttanza con presa intermedia”: si badi bene, non “bobina con presa intermedia”, è diverso. La figura 5 risponde alla domanda: si tratta di due induttanze in serie fra le quali è presente un certo grado di accoppiamento per mutua induzione.

Modello di generica induttanza con presa intermedia

Fig. 5 - Modello di generica induttanza con presa intermedia

Tutto l’insieme può essere viste come un blocchetto con tre terminali e con un piccolo sforzo in più rispetto ai modelli introdotti prima si potranno scrivere le seguenti espressioni

presa_intermedia_induttanze_formula_4

sempre con riferimento alla figura 5 (per chi volesse addentrarsi di più nell’elettrotecnica e nello studio dei circuiti elettrici consiglio la lettura di un buon testo in uso negli istituti tecnici industriali o qualcuno dei libri segnalati come [2], [3], [4]).

Belle equazioni quelle precedenti ma che motivo c’è di conoscerle se poi sarà il simulatore a risolverle quando gli sarà stato detto che in quel punto vengano messe due induttanze in serie con una certa mutua induzione fra di loro?

Ecco è proprio nella definizione di quanta sia questa mutua induttanza che il simulatore non ci può aiutare ma lo si deve fare a priori conoscendo il modello del componente che si vuole analizzare. Tutto quello che si può sapere, nel caso più generale è che

presa_intermedia_induttanze_formula_3

ma questo sposta semplicemente il problema dalla conoscenza di M a quello di k ma non risolve il problema. Se non in particolari casi: se l’oggetto rappresentato dalla figura 5 fosse un autotrasformatore di rete si potrebbe senz’altro dire che il coefficiente di accopiamento sarà k = 1 e quindi, calcolando L1 e L2 in base alla riluttanza del nucleo ferromagentico del trasformatore, si avranno tutti i parametri che compaiono nelle (2). Andando avanti per questa strada si troverebbe il ben noto risultato secondo il quale il rapporto di trasformazione di impedenza è il semplice rapporto spire al quadrato. Ma se invece di un nucleo ferromagnetico, in cui tutto il flusso magnetico sarà concatenato con l’altro avvolgimento, ci interessi una bobina in aria allora l’asserzione k = 1 non sarà più valida. Vediamo allora come si possa affrontare il problema.

radiokit elettronica

 

 

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