Un portento della matematica: la trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier, sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822 e illustrata nel suo trattato "Théorie analytique de la chaleur" (Teoria analitica del calore), è uno degli strumenti matematici più utilizzati nell'ambito delle scienze pure e applicate, dall'ingegneria del suono fino al test e verifica di strumentazione. Cerchiamo, allora, di capire in cosa consiste tale strumento e vedremo quali sono le sue principali applicazioni.

 

1 Definizione

Se f(x) è una funzione appartenente allo spazio L1(R; C), ossia è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali R, a valori complessi e tale che esista finito l'integrale di Lebesgue di |f(x)| su R, si defi nisce trasformata di Fourier di f e si indica con  oppure con , la funzione

Osserviamo che, poiche |f(x)e-iλx| = |f(x)|, il fatto che f(x) sia di classe L1(R; C) implica che anche la funzione f(x)e-iλx lo sia; pertanto, il suddetto integrale (di Lebesgue), detto anche integrale di Fourier, è ben defi nito.

Volendo limitarci all'ambito delle funzioni integrabili secondo Riemann (che sono un sottoinsieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue), la definizione data di trasformata di Fourier rimane inalterata.

Questa definizione non è adottata da tutti gli autori di testi tecnico-scientifici: alcuni sostituiscono e-iλx, detto anche nucleo di Fourier, con e-2πiλx o (2π)-1/2e-iλx.

1.1 Le trasformate integrali

La trasformata di Fourier è un esempio di trasformata integrale. Una trasformata integrale è un'applicazione tra due spazi di funzioni definita tramite una formula di questo tipo:

Dove K(λ, x) è una funzione, detta nucleo integrale o kernel, che, insieme all'intervallo di integrazione I, caratterizza il tipo di trasformata. Per K(λ, x) = e-iλx e I = R, otteniamo la trasformata di Fourier.

Oltre a quella di Fourier, tra le principali trasformate integrali vi sono quelle di:

  • Abel,
  • Hankel,
  • Hartley,
  • Hilbert,
  • Laplace,
  • Mellin,
  • Weierstrass.

1.2 Serie e trasformata di Fourier

Il metodo dello sviluppo in serie di Fourier ci consente di esprimere una funzione periodica di periodo T appartenente a L2([-T/2, T/2]) (ovvero esiste finito l'integrale di Lebesgue tra -T/2 e T/2 del quadrato del suo modulo) come combinazione lineare infi nita di funzioni sinusoidali (seni e coseni), oppure di esponenziali a esponente immaginario. Fourier si pose il problema di estendere questo suo metodo anche alle funzioni non periodiche defi nite su tutto l'asse reale. Vediamo ora in che modo tale problema venne risolto e come ciò diede origine alla trasformata di Fourier.

Consideriamo, ad esempio, la seguente funzione:

È possibile esprimerla come combinazione lineare di funzioni periodiche elementari? Restringiamo il dominio di f(x) ad un intervallo [-L, L] (dove L è un'arbitraria costante positiva) e facciamone poi il prolungamento periodico. Abbiamo così ottenuto una funzione periodica di periodo 2L che chiamiamo fL, rappresentata dal seguente grafico:

Dunque, possiamo svilupparla in serie di Fourier, ad esempio nella forma esponenziale complessa:

A questo punto, si può dimostrare che, sotto opportune ipotesi (che illustreremo nel paragrafo 3), facendo tendere L all'infi nito, si ottiene:

Che fL tenda a f per L tendente ad infinito sembra abbastanza ovvio. La formula a sinistra ci dice che è possibile scrivere come "combinazione lineare infinita" di esponenziali immaginari anche una funzione non periodica, a patto di considerare come combinazione lineare infinita non una serie ma un integrale. Quindi, se la funzione non è periodica, al posto della successione dei coefficienti di Fourier ck abbiamo la funzione g(λ) che, come possiamo vedere, è proprio la trasformata di Fourier di f.

La serie e la trasformata di Fourier costituiscono le "fondamenta" di quella branca della matematica chiamata analisi di Fourier o analisi armonica.

1.3 Esempio

La funzione

è chiaramente di classe L1(R) e pertanto possiamo calcolarne la trasformata di Fourier:

2 Alcune proprietà

2.1 Linearità

Una prima proprietà, immediata ma importante, della trasformata di Fourier è la linearità:

dove f e g sono due funzioni di classe L1(R; C), mentre α e β sono due numeri reali o complessi.

2.2 Trasformata di Fourier di funzioni pari e dispari

In virtù della formula di Eulero (eix = cosx+isenx), si può scrivere:

che, se f è pari (f(-x) = f(x)), diventa:

ovvero diventa la trasformata coseno di f; mentre, se f è dispari (f(-x) = -f(x)), si ha:

che è la trasformata seno di f moltiplicata per -i.

2.3 Continuità e andamento all'infi nito

Si può dimostrare che  è una funzione continua su tutto R e tendente a 0 per λ che tende a ±∞.

2.4 Trasformata di Fourier delle derivate

Se f appartenente a L1(R) è derivabile e f' appartiene anch'essa a L1(R), è possibile dimostrare che

Se esistono anche le derivate f'', f''', ..., f(p) e appartengono tutte a L1(R), iterando la precedente relazione, si ottiene:

per ogni k = 1, ..., p.

Questa proprietà è particolarmente importante perché, come vedremo, consente la risoluzione di alcune equazioni differenziali.

2.5 Derivabilità della trasformata di Fourier

Sia f è appartenente a L1(R) ed è tale che le funzioni xf, x2f, ..., xpf appartengano tutte ad L1(R), allora la trasformata di Fourier di f è di classe Cp(R) (ossia, ammette in R le prime p derivate e sono tutte continue) e inoltre, chiamandola g, si ha:

2.6 Altre proprietà

Altre proprietà della trasformata di Fourier sono le seguenti:

Il trattino sopra la "f" sta ad indicare che si tratta della coniugata di f. Ovviamente, se f assume solo valori reali, essa coincide con la sua coniugata.

3 L'antitrasformata di Fourier

Se g(x) è una funzione appartenente a L1(R; C), si de finisce antitrasformata di Fourier (o trasformata di Fourier inversa) di g la funzione

Sorge subito spontaneo chiedersi se essa sia l'operatore inverso della trasformata di Fourier, ovvero se valga la seguente uguaglianza:

che equivale alle ultime due formule del sottoparagrafo 1.2. La risposta è che tale relazione non vale per tutte le funzioni di L1(R; C), ma solo per quelle di una classe particolare che ora andremo ad esaminare.

Lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida (o rapidamente decrescenti), indicato con , è l'insieme delle funzioni f di classe C∞(R; C) (dette anche funzioni lisce) tali che, per ogni n, k appartenenti ad N, si ha:

In parole più semplici, le funzioni a decrescenza rapida sono funzioni lisce che, insieme alle loro derivate (di qualsiasi ordine: f', f'', f''', ecc.), tendono a 0, per x tendente a ±∞, più rapidamente di 1/xn, per ogni numero naturale n. Un esempio di funzione rapidamente decrescente è exp(-|x|2). Dovrebbere essere abbastanza evidente che  è contenuto in Lp(R; C), per ogni p tale che 1≤p≤∞.

Si può dimostrare che, se una funzione appartiene allo spazio di Schwartz, lo stesso vale per la sua trasformata di Fourier e si ha:

Più precisamente, la trasformata di Fourier è un automorfismo su .

4 Convoluzione

Date due funzioni f e g di L1(R) limitate, si defi nisce convoluzione (o prodotto di convoluzione) fra f e g, e si indica con il simbolo f*g, la funzione

La convoluzione gode delle seguenti proprietà:

  1. anche f*g è una funzione di L1(R) ed è limitata;
  2. f*g = g*f;
  3. ;
  4. .

5 Trasformata discreta di Fourier

Si definisce trasformata discreta di Fourier di N numeri complessi x0, x1, ..., xN-1 la N-pla di numeri complessi X0, X1, ..., XN-1 ottenuti tramite la seguente formula:

Si noti che i valori e2πik/N (k = 0, ..., N-1) sono le N radici dell'equazione zN-1 = 0 con incognita complessa z, dette anche radici N-esime dell'unità. Pertanto, la trasformata discreta di Fourier può essere interpretata come l'insieme dei valori che la funzione x0 + x1/z + x2/z2 + ... + xN-1/zN-1 assume in esse.

Per ottenere x0, x1, ..., xN-1 a partire da X0, X1, ..., XN-1, si utilizza l'antitrasformata discreta di Fourier:

Poiché richiede un numero finito di operazioni, la trasformata di Fourier discreta può essere sottoposta ad una computazione digitale. Viene calcolata in modo efficiente grazie agli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform).

6 Alcune applicazioni

6.1 Risoluzione di equazioni differenziali

In virtù della proprietà illustrata nel sottoparagrafo 2.4, con la trasformata di Fourier è possibile trasformare un'equazione differenziale a coefficienti costanti in un'equazione algebrica lineare. Consideriamo la seguente equazione differenziale:

au''(x)+bu'(x)+cu(x) = f(x)

Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri, si ottiene:

-aλ2U(λ)+ibλU(λ)+cU(λ) = F(λ)

dove con U(λ) e F(λ) ho indicato le trasformate di u(x) e f(x). Da quest'ultima si ricava:

U(λ) = F(λ)/(-aλ2+ibλ+c)

e, a questo punto, basta applicare l'antitrasformata di Fourier per avere la soluzione u(x) dell'equazione differenziale.

Va precisato però che, per quanto detto nel paragrafo 3, questa procedura è legittimata solo se f(x) e la soluzione u(x) appartengono allo spazio di Schwartz.

La trasformata di Fourier si può applicare anche alla risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Vediamone un esempio.

6.1.1 Equazione del calore

Immaginiamo una barra di lunghezza infi nita, fatta di un materiale conduttore avente conducibilità termica K>0, che inizialmente (all'istante t=0) ha una temperatura data dalla funzione u0(x)≥0. La soluzione u(x, t) dell'equazione

fornisce la temperatura della barra nel punto x ad un istante qualsiasi t>0. Sia v(λ, t) la trasformata di Fourier nella variabile x della funzione u(x, t):

abbiamo che

Supponendo di poter scambiare la derivata rispetto a t con l'integrale (andrebbe dimostrato che è lecito farlo), possiamo scrivere:

ossia

Pertanto, grazie alla trasformata di Fourier, l'equazione del calore si tramuta in

che è un'equazione differenziale ordinaria la cui soluzione è

Poiché

possiamo scrivere:

Come abbiamo visto nel paragrafo 4, il prodotto delle trasformate di Fourier di due funzioni può essere scritto come la trasformata di Fourier della convoluzione delle due funzioni; per cui si ha:

Applicando ad ambo i membri l'antitrasformata di Fourier (assumendo che la trasformata sia invertibile), otteniamo fi nalmente la soluzione dell'equazione del calore:

6.2 Analisi ed elaborazione dei segnali

Sia x(t) una funzione del tempo che rappresenta un segnale. Se calcoliamo la trasformata di Fourier di x(t), ciò che otteniamo è una funzione il cui argomento è la pulsazione angolare del segnale, ovvero la frequenza f moltiplicata per 2π; tale funzione è ciò che si chiama spettro del segnale x(t) e costituisce la sua rappresentazione nel dominio della frequenza. Essa lo scompone nella sommatoria di un numero finito o infinito di onde sinusoidali dette armoniche (ecco perché l'analisi di Fourier viene denominata anche analisi armonica). Se indico con X(f) lo spettro di x(t), ovvero

ad ogni valore di f in cui X è definita e diversa da 0 corrisponde un'armonica avente:

  1. frequenza = f,
  2. ampiezza = |X(f)|,
  3. fase = arg(X(f)).

Le funzioni |X(f)| e arg(X(f)) si chiamano rispettivamente spettro di ampiezza e spettro di fase del segnale x(t). La funzione |X(f)|2 viene chiamata invece densità spettrale di energia di x(t). L'immagine sottostante mostra i grafici di tre segnali e dei loro rispettivi spettri di ampiezza.

Se x(t) è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori (coincidenti con i coefficienti di Fourier) e prende il nome di spettro discreto o spettro a pettine; altrimenti lo spettro è continuo e la sua estensione lungo l'asse delle frequenze è inversamente proporzionale a quella del segnale lungo l'asse del tempo.

Se il segnale è discreto (ottenuto, ad esempio, dal campionamento di un segnale continuo), ovviamente si dovrà applicare ad esso la trasformata di Fourier discreta.

La trasformata di Fourier è quindi uno strumento utile per l'analisi dei segnali, ma i suoi pregi non finiscono qui. Essa svolge un ruolo fondamentale anche nell'ambito dell'elaborazione numerica dei segnali; infatti, consente, ad esempio, il loro filtraggio. Supponiamo di voler eliminare dal segnale x(t) tutte le frequenze maggiori di f2 e inferiori a f1. È sufficiente moltiplicare lo spettro X(f) di x(t) per la funzione indicatrice di [f1, f2] (uguale a 1 in [f1, f2] e 0 altrove) e applicare l'antitrasformata alla funzione ottenuta.

Naturalmente, la trasformata di Fourier non è utilizzata solo nell'ambito dell'elettronica e delle telecomunicazioni, ma in tutti gli innumerevoli campi aventi direttamente o indirettamente a che fare con onde e/o segnali: fisica, chimica, sismologia, musica, medicina, astronomia, eccetera.

6.2.1 Esempi

Consideriamo il segnale

detto impulso rettangolare. Il suo spettro è

dove sinc() è il seno cardinale.

Il segnale

è invece un esempio di impulso triangolare e il suo spettro è

6.2.2 Esercizio di elettronica

Determiniamo lo spettro del segnale di uscita del sistema mostrato nella figura seguente, essendo noto lo spettro del segnale in ingresso.

Il diagramma della figura si traduce nella seguente equazione:

dalla quale, applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri, ricaviamo lo spettro di y(t) in funzione di quello di x(t):

Manca però da determinare H(f):

Per risolvere questo integrale, effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: x = -2πft. Gli estremi di integrazione, -∞ e +∞, rimangono invariati se f < 0, mentre se f > 0 vanno invertiti ovvero l’integrale va moltiplicato per -1. Pertanto, l’integrale deve essere moltiplicato per –sgn(f), dove sgn() è la funzione segno.

Essendo cosx/x una funzione dispari, il suo integrale su tutto R è nullo; mentre l’integrale su tutto R di senx/x vale π. Pertanto, si ha:

H(f) = -sgn(f)i

e quindi, concludendo, lo spettro di y(t) è

7 Altri articoli

Altri articoli di ELETTRONICA OPEN SOURCE inerenti la trasformata di Fourier sono:

 

Bibliografia

Gilardi G.: analisi tre; Milano, McGraw-Hill Libri Italia srl, 1994.

Stallo C.: MODULO DI ELABORAZIONE DEI SEGNALI, Master universitario in "Lo spazio: Galileo, telecomunicazioni e formazione - SPA"; Roma, Scuola IaD – Università Tor Vergata, 2007.

Bibliografia on-line

La Trasformata di Fourier

La Trasformata di Fourier Discreta e sue applicazioni

La trasformata di Fourier è una figata

Lez 26 - Trasformata di Fourier.avi

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Spazio di Schwartz

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier veloce

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12 Commenti

  1. Piero Boccadoro Piero Boccadoro 7 ottobre 2014
  2. Antonello Antonello 7 ottobre 2014
  3. gfranco78 gfranco78 7 ottobre 2014
  4. Marco Giancola Marco Giancola 7 ottobre 2014
  5. Marco Giancola Marco Giancola 7 ottobre 2014
  6. Marco Giancola Marco Giancola 7 ottobre 2014
  7. Piero Boccadoro Piero Boccadoro 8 ottobre 2014
  8. talentoguido 13 ottobre 2014
  9. Marco Giancola Marco Giancola 13 ottobre 2014
  10. ingmarketz 20 gennaio 2015
  11. dantave dantave 30 gennaio 2015

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