Il Sampling Mixer

Sampling Mixer aliasing

Nella quasi totalità dei libri e nella didattica in generale, il fenomeno dell’aliasing (o alias) viene presentato come un effetto “negativo” o comunque “non desiderato” che si ottiene campionando temporalmente un qualsiasi segnale, ossia passando da un’evoluzione a tempo continuo del segnale ad una serie a tempo discreto di valori campionati.

Va sottolineato che questo fenomeno riguarda solamente l’evoluzione temporale del segnale e non la sua estensione; altri effetti come la quantizzazione o la saturazione riguardano, invece, la conversione del segnale, tipicamente da un’estensione analogica (infiniti livelli possibili tra un valore minimo e uno massimo arbitrari) ad una digitale (numero massimo di livelli tra un valore minimo e uno massimo prefissati). In questo articolo viene presentato un modo diverso di vedere l’aliasing, che viene sfruttato per costruire dei mixer particolari, chiamati appunto sampling mixer (mixer a campionamento).

L’aliasing

L’aliasing è quel fenomeno che interviene quando, nel campionamento di un segnale ad evoluzione temporale continua, non viene rispettato il cosiddetto “Teorema del Campionamento” o “Teorema di Nyquist”, il quale asserisce che la frequenza di campionamento di un segnale deve essere almeno il doppio rispetto alla massima frequenza significativa del segnale da campionare. Seppur questo teorema derivi da una dimostrazione matematica, una dimostrazione intuitiva può essere facilmente compresa osservando la figura 1.

L’aliasing è quindi un fenomeno a cui bisogna prestare attenzione, trattando con segnali campionati, perché ha la peculiarità di “confondere le idee”; infatti, se il teorema del campionamento non viene rispettato, lo spettro del segnale campionato presenta delle “anomalie” rispetto allo spettro del segnale prima del campionamento e il segnale originario non può più essere ricostruito partendo dai dati campionati.

Un esempio banale di alias è il seguente: se andiamo al bar a mezzogiorno e vediamo un nostro amico, e poi, andando di nuovo al bar alle quattro del pomeriggio, lo rivediamo, possiamo concludere che il nostro amico è rimasto al bar da mezzogiorno alle quattro; invece, può essere andato anche lui a mezzogiorno e alle quattro (campionamento alla stessa frequenza del segnale), oppure essere andato ogni 2 ore, ogni ora e così via (sottocampionamento).

frequenza_segnale_campionamento

Fig. 1 – Frequenza segnale fs=1.2kHz, frequenza campionamento fc=1 kHz, frequenza di alising fa=200Hz.

spettro_segnale_campionato

Fig. 2 – Spettro di un segnale campionato con e senza aliasing

Più scientificamente, l’aliasing è ad esempio usato per valutare la frequenza di rotazione di una ruota illuminandola con un luce stroboscopica impulsata; quando la ruota “sembra ferma”, la frequenza degli impulsi della luce è uguale a quella di rotazione della ruota (campionando un segnale periodico con una frequenza pari a quella del segnale stesso, si ottiene una continua). Dal punto di vista segnalistico/ elettronico, l’aliasing è quasi sempre visto come un problema in quanto, appunto, modifica un’informazione essenziale per un segnale quale è il suo spettro. Ecco perché, in tutti i sistemi di acquisizione è previsto un filtro in ingresso detto appunto “antialias”.

Senza entrare nei dettagli matematici, dal punto di vista grafico il campionamento produce, sullo spettro del segnale, tante repliche di tale spettro attorno alla frequenza di campionamento (e ai suoi multipli). Quando il teorema del campionamento non è rispettato, una parte della replica dello spettro del segnale attorno alla frequenza di campionamento viene a sovrapporsi con lo spettro “in banda base”, modificando, di fatto, lo spettro del segnale originale. Questo perché dopo il campionamento, lo spettro “visibile” è solo quello da –?c/2 a +?c/2; tuttavia, le porzioni del segnale che si trovano fuori da questo intervallo non vengono filtrate (campionatore ideale) e compaiono con una frequenza “apparente” pari a ??sn ?c?, dove n è un intero. La figura 2 mostra lo spettro del segnale sottocampionato (visualizzato in figura 1) confrontato con lo spettro “vero”.

Il sampling mixer

L’idea che sta alla base del sampling mixer è quella di sfruttare l’aliasing di un segnale campionato ad una frequenza che non rispetti il teorema del campionamento. Come detto prima, questo fa sì che allo spettro del segnale sia sovrapposto una parte dello spettro replicato attorno alla frequenza di campionamento. Nel caso di sinusoidi, ad esempio, compare un’armonica ad una frequenza pari alla differenza tra la frequenza di campionamento e quella del segnale, come si può vedere in figura 2. Campionando un segnale a 1kHz ad una frequenza di 1,2 kHz, si ottiene nello spettro un’armonica a 200 Hz, pari alla differenza delle due. Questo può essere visto come la funzione realizzata da un normale mixer. È quindi possibile realizzare con un semplice circuito che campioni e mantenga il segnale (sample and hold) un mixer a campionamento.

Applicazioni

La semplicità di questo circuito rende vastissimo il campo di applicazioni in cui può essere utilizzato. Tradizionalmente adatto a frequenze basse (da pochi hertz fino a qualche kilohertz), dove i mixer tradizionali devono essere sostituiti da moltiplicatori analogici, gli sviluppi tecnologici hanno permesso la costruzione e la disponibilità sul mercato di sampling mixer fino a 18 GHz. Un’applicazione in cui i sampling mixer sono diffusi è rappresentata dai sampling PLL, degli anelli ad aggancio di fase tradizionali (PLL) in cui però il mixer è sostituito con un semplice circuitino sample and hold.

Questi circuiti possono essere utilizzati per dividere una frequenza nota di riferimento per un numero intero arbitrario (limitato però dal rumore di fase del campionatore), poiché, come detto prima, lo spettro del segnale viene replicato ad ogni multiplo intero della frequenza di campionamento. Un esempio Un banale circuito di esempio è illustrato in figura 3.

sampling_mixer

Fig. 3 – Un SMP04 usato come sampling mixer.

forme_onda

Fig. 4 – Le forme d’onda dell’esempio considerato.

Un SMP04 ha l’ingresso collegato ad un generatore di segnali che genera un sinusoide a circa 1kHz (piedino #3), mentre il segnale di campionamento (piedino #6) ) è collegato al segnale di sincronismo di un altro generatore, con frequenza di circa 1,2 kHz e duty cicle del 10% (per ridurre la fase di zero order holding). L’uscita (piedino #2) è quindi collegata ad un oscilloscopio. La figura 4 mostra le forme d’onda (5ms/ div).

In alto la sinusoide da campionare, poi il segnale campionatore ed infine in basso l’uscita del Sample and Hold, ossia una sinusoide a circa 200Hz. Lascio alla fantasia degli sperimentatori la ricerca delle possibili applicazioni pratiche per questa semplice configurazione circuitale.

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