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Se la matematica non è un’opinione: tra l'1 e il 9, c’è il 5..o il 3?

Pensiero logaritmico

La matematica non è un’opinione, una frase sentita così tante volte e abusata a tal punto da diventare una frase fatta per determinare la verità assoluta di qualsiasi ragionamento basato sui numeri. Invece la matematica può essere un’opinione e a dimostrarlo c’è un semplice, banale, ma davvero significativo, esempio: basta chiedere a qualunque adulto di un paese industrializzato il numero che si trova fra 1 e 9. La sua risposta sarà sicuramente 5. Risposta corretta, certo, ma non è l’unica, perché se ponete la stessa domanda ad un bambino o a persone appartenenti a società più tradizionali, questi potrebbero calcolare un altro valore, il 3!

La teoria logaritmica

In merito a questo fenomeno, gli scienziati cognitivi hanno teorizzato che per gli esseri umani è più naturale pensare logaritmicamente piuttosto che linearmente: 3° fa 1 e 3² fa 9, per cui nel mezzo abbiamo 3¹, cioè 3. E i circuiti neurali sembrano avvalorare questa teoria.

Ad esempio, gli esperimenti psicologici suggeriscono che, moltiplicando l’intensità di alcuni stimoli sensoriali, si causi una crescita lineare dell’intensità percepita.

A dimostrazione di ciò, i ricercatori del MIT hanno utilizzato le tecniche della teoria dell’informazione: date delle ipotesi certe circa un ambiente naturale, e il modo in cui lavorano i sistemi neurali, la rappresentazione dell’informazione in modo logaritmico riduce il rischio d’errore rispetto alla forma lineare.

Concetti di errore assoluto ed errore relativo

Introduciamo per sommi capi i concetti di errore assoluto e di errore relativo, che ci saranno utili nel prossimo paragrafo. L'errore assoluto è la semidifferenza fra valore massimo e valore minimo di una misurazione (val max – val min /2) ed indica l'errore massimo che si commette nella misurazione di una grandezza. L'errore relativo è dato dal rapporto fra l'errore assoluto e il valore medio e serve a capire l'entità dell'errore, cioè se esso è piccolo o grande e quindi se può essere tollerato oppure no. Insomma, determina il grado di precisione, o di imprecisione, di una misurazione.

Il lavoro dello STIR: dai problemi di elaborazione del segnale alla neuropsicologia

Il gruppo di ricerca, lo STIR, si è trovato ad affrontare un problema all’apparenza diverso da quanto abituato a trattare solitamente, cioè quello della produzione di immagini digitali e della risonanza magnetica. In realtà come ha dichiarato il leader del gruppo, John Sun, il lavoro di compressione dei media (di competenza del gruppo), per la maggior parte, è portato avanti con esperimenti psicofisici.

Per esempio, quando si effettua una compressione di un file Mp3, si utilizzano diversi aspetti percettivi (cosa viene percepito bene e cosa non viene percepito bene). Secondo gli autori della ricerca, se si progettasse un sistema nervoso per essere umani che vivono in un contesto ancestrale, l’errore che si dovrebbe cercare di minimizzare è quello relativo, non quello assoluto. Prendiamo un esempio che preveda la capacità di esaminare con accuratezza una situazione di emergenza: con un margine di errore pari a 4, conta di più sapere se ci sono 1 o 5 leoni nell'erba alta intorno a noi, che sapere se le antilopi nel gregge poco distante sono 96 o 100. Nel primo caso abbiamo un errore assoluto pari a 2 (valore max – valore min /2, quindi (5-1)/2=2) e un errore relativo uguale al 67% (errore assoluto/valore medio, 2/(1+5)/2 = 2/3, ovvero 0.67).

Nel secondo esempio, invece, l'errore assoluto è uguale a 4 e l'errore relativo è pari al 4%. Questo dimostra come, in un contesto appena descritto, sia importante ridurre il più possibile l'errore relativo anziché quello assoluto; ovviamente a noi interessa essere più accurati nel percepire il numero dei leoni piuttosto che quello delle antilopi.

I ricercatori hanno anche dimostrato che, nel tentativo di minimizzare un errore, l’utilizzo di una scala logaritmica rappresenta il miglior approccio, a due differenti condizioni: la prima, se si sta cercando di memorizzare una propria rappresentazione del mondo esterno; l’altra, se gli stimoli sensoriali nel mondo esterno finiscono per ricadere all’interno di particolari schemi statistici. Nel primo caso, una scala logaritmica è ideale se c’è qualche possibilità di errore nella memorizzazione o nel recupero di informazioni, o se c’è bisogno di comprimere i dati in modo che occupino meno spazio.

I ricercatori credono che la pressione della memorizzazione possa spiegare il naturale istinto umano a rappresentare i numeri in forma logaritmica. Durante lo studio del MIT, sono stati presi in considerazione anche gli schemi statistici che descrivono le oscillazioni di volume nel discorso umano. Il risultato è che queste oscillazioni vengono ben approssimate secondo una distribuzione normale (curva a campana), solo se vengono rappresentate in modo logaritmico. Date queste circostanze, è possibile dimostrare come una rappresentazione logaritmica minimizzi l’errore relativo.

Il modello teorico informativo

I ricercatori dello STIR hanno quindi elaborato un modello teorico-informativo che si adatta ai dati psicologici empirici anche in altri modi. Uno è il fatto che è in grado di predire il punto in cui crolla la capacità di discriminazione sensoriale umana. Nel caso dell'ascolto di suoni ad un determinato volume, ad esempio, i soggetti dell’esperimento possono scorgere delle distinzioni molto sottili in un determinato raggio di valori, ma quando si arriva ai margini di questo range, si verifica un crollo.

Allo stesso modo, questo modello svolge un lavoro migliore rispetto ai suoi predecessori, nel descrivere l’elasticità del cervello. Esso offre una struttura in cui una diretta applicazione del teorema di Bayes (la pietra miliare di gran parte dell’analisi statistica moderna), predice in maniera accurata l’estensione entro la quale le preferenze innate nel sistema nervoso umano possono essere rivedute e corrette alla luce dell’esperienza.

D'altronde, esiste una incredibile varietà di specie animali, caratterizzate da un altrettanto variegato insieme di meccanismi sensoriali, come l'udito, il gusto, l'olfatto, la vista, eppure tutti sembrano seguire la stessa legge, cioè una relazione logaritmica tra l'intensità dello stimolo e l'intensità percepita. Ma se la biologia degli esseri viventi è variabile, perché tutti gli organismi sembrano essere soggetti alla stessa legge, che poi si dimostra estremamente precisa? Investigare una domanda del genere non è affatto facile, e chiama in causa anche un problema filosofico, legato inestricabilmente all'analisi statistica. Il modello teorico-informativo sviluppato dal MIT, infatti, è utile nel tentativo di risolvere questo problema, anche se prima sarebbe opportuno cercare i casi in cui il metodo non risulta valido.

Un esempio è la visione notturna, di cui sono dotati alcuni esseri viventi, che non soddisfa la relazione tra intensità dello stimolo ed intensità percepita.

Tra l'1 ed il 9 quale numero sta nel mezzo?

Avete mai provato a porre la domanda ad un bambino, magari agevolandolo con uno schema grafico? Le risposte sono interessanti per capire il funzionamento del cervello prima che le regole sociali ne plasmino l'innata e naturale capacità di pensiero.

 

 

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ritratto di Piero Boccadoro

Interessante questo articolo :) In particolare leggendolo

Interessante questo articolo :)

In particolare leggendolo ho fatto una riflessione su errore relativo ed errore assoluto.
Secondo me c'è grande attinenza: vi siete mai accorti di come funziona il rincaro dei prezzi? Di solito, su un prezzo di 0,5€ (tanto per dire un numero), magari il prezzo di un caffè, c'è un rincaro di "soli 10 centesimi". E qualcuno dice, ed è un classico "ma sono solo 10 centesimi"...
Bene ogni volta che c'è un rincaro io, personalmente ma sono certo di non essere l'unico, lo valuto non come 10 centesimi ma come il 20%!
Già perchè se noi pensassimo in termini di margini e non di valori assoluti, almeno in questo ambito, ci renderemmo conto che un rincaro serve in ottica margini di profitto, per esempio :)

Non so se a voi sembra attinente ma a me ha fatto venire in mente questa cosa ed un'altra riflessione che ho sempre fatto: nell'abitudine, negli schemi, nella ripetizione, nella routine il cervello muore!

ritratto di Emanuele

Assolutamente una variante alla classica percezione della reltà

Assolutamente una variante alla classica percezione della reltà descritta in questo post
http://it.emcelettronica.com/l...

anche se non sono del tutto sicuro che in questo caso si possa parlare di percezione della realtà....

(ci vorrebbe un filosofo!)

ritratto di Maria Rosa Malizia

Se tra il numero 1 e il numero 9 ci sta il 3 o il 5 non è questo

Se tra il numero 1 e il numero 9 ci sta il 3 o il 5 non è questo il problema. Se diciamo a un bambino che conosce solo i numeri interi dirà certamente che tra il numero 1 e il 9 ci sono anche il 2,3,4,5,6,7,8 . Naturalmente ha ragione il bambino in quanto i numeri interi sono solo quelli che stanno tra il minimo e il massimo di un intervallo. Se invece poniamo la stessa domanda a qualcuno che conosce i numeri razionali allora dirà certamente che ci sono infiniti numeri compresi tra il minimo e il massimo. Pochissimi a mio avviso daranno la risposta che c'è il numero 5, e molto meno daranno la risposta che c'è il numero tre. L'articolo all'inizio dice una cosa giusta: la matematica non è un'opinione.

 

 

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