Prosegue la nostra carrellata sugli schemi di modulazione, iniziata con il primo articolo focalizzato sulle modulazioni analogiche di portante analogica. In questo articolo, invece, vedremo le principali modulazioni digitali di portante analogica, ovvero quegli schemi che consentono ad un segnale modulante digitale m(t) di modificare una o più caratteristiche fondamentali di una portante sinusoidale p(t), per poter così trasmettere il segnale modulato u(t) lungo un canale di comunicazione. Con l'avvento delle tecnologie digitali è sorto il problema di adattare le modulazioni ai segnali binari in sostituzione delle tradizionali modulazioni analogiche di portante analogica. Come riportato nel primo articolo della serie, la trasmissione diretta del segnale in banda base non è possibile. Lo diventa ancora di più per i segnali digitali a causa dell'elevato valore di banda occupata.

Per risolvere il problema si utilizza il già noto stratagemma di prendere una portante analogica di cui viene fatto variare uno dei tre parametri fondamentali (ampiezza, frequenza, fase) in funzione delle variazioni del segnale digitale. In relazione alla grandezza prescelta si avranno, rispettivamente, i seguenti tipi di modulazione:

• ASK e OOK (Amplitude Shift Keying - On Off Keying), modulazione a spostamento di ampiezza
• FSK (Frequency Shift Keying), modulazione a spostamento di frequenza
• PSK (Phase Shift Keying), modulazione a spostamento di fase

Il termine Shift Keying deriva dall'analogia con le macchine da scrivere in cui il tasto per le maiuscole (Shift Key) permette di passare dalla forma minuscola a quella maiuscola di una lettera e viceversa.

I principali vantaggi di queste modulazioni rispetto a quelle analogiche, si possono riassumere in 2 punti:

1. possibilità di combinare più modulazioni contemporaneamente (QAM);
2. mancanza della necessità di conservare la proporzionalità fra modulante e variazione del parametro della portante, essendo solo necessario, in fase di  demodulazione, ricostruire l'esatta sequenza di 0 e 1 logici del segnale modulante.

Ciò porta a conseguire una maggiore immunità al rumore e consente di coprire distanze elevate a frequenze notevoli grazie alla rigenerazione dei segnali.

Inoltre, il segnale digitale può essere sottoposto a codifica di sorgente, di canale e cifratura, migliorandone ulteriormente le prestazioni. Ad esempio, la sequenza di bits si può suddividere in gruppi di lunghezza fissa n, associando ad ogni gruppo un simbolo, così da realizzare M = 2ⁿ simboli. Possiamo definire così la velocità di trasmissione, misurata in simboli/secondo (baud/s), indicata con V_m. Se V_c rappresenta la velocità di trasmissione espressa in bit/s, allora V_m = V_c/n. Poichè la largezza di banda dipende dalla velocità di trasmissione, allora essa diminuisce di un fattore n rispetto al segnale non codificato. In sostanza, a parità di banda si riesce ad aumentare il bit rate della trasmissione.

Definiamo ora alcuni parametri fondamentali:

• E_b rappresenta l'energia media necessaria per trasmettere 1 bit ed il suo valore è dato dal prodotto (E_b = PT) tra P potenza media e T tempo di durata di un bit;
• S = E_b⋅V_c rappresenta la potenza del segnale ed è pari al prodotto tra E_b e V_c;
• la potenza di rumore N = N₀⋅B è pari al prodotto tra la PSD del rumore termico N₀ e la banda di trasmissione B;
• possiamo calcolare il rapporto segnale-rumore SNR utilizzando la sua definizione classica e sostituendo i termini appena definiti, otteniamo cosi:

il rapporto segnale-rumore risulta essere, quindi, il prodotto delle due quantità tra parentesi. La prima (E_b/N₀) rappresenta un fattore normalizzato indipendente dalla banda, mentre la seconda (V_c/B) viene detta densità d'informazione. Questi due fattori sono i parametri di misura che permettono di confrontare le modulazioni numeriche in funzione dell'efficienza in potenza e di quella spettrale. In particolare:

• E_b/N₀ influisce sulla probabilità di errore (BER) in ricezione, ovvero sulla possibilità di decidere per un 1 logico quando in realtà era stato trasmesso uno 0 logico e viceversa. Quindi, a parità di potenza trasmessa, ci dice la modulazione più affidabile;
• V_c/B influisce sull'efficienza spettrale, indicando il numero di bits trasferito per unità di banda. Quindi, a parità di banda, ci dice quale modulazione è più efficiente (veloce).

Passiamo ora ad analizzare le singole modulazioni, cominciando con l'ASK.

Amplitude Shift Keying (ASK)

Un segnale modulato ASK può essere definito dalla seguente espressione:

dove A_c è l'ampiezza della portante, f_c la sua frequenza, m(t) può assumere solo uno dei 2 valori binari, T è il tempo di durata di un bit.

Questo segnale modulato ha una potenza P = (A_c)²/2, quindi A_c = √(2P). Sostituendo nell'espressione sopra e moltiplicando e dividento per T, otteniamo:

dove E rappresenta l'energia contenuta in bit. Per come è definito m(t), possiamo rappresentare un tipico segnale modulato ASK come quello riportato in Figura 1.

Figura 1: esempio di modulazione ASK-OOK, con modulante in rosso, portante in blu e modulata in nero

Il segnale in rosso è il segnale modulante e rappresenta la sequenza di bits 01011001. Il segnale in blu è il segnale portante, mentre quello in nero il segnale modulato. Quando la modulante assume valore 0, anche la modulata si annulla, viceversa laddove assume valore 1, la modulata assume la forma della portante in quell'intervallo. Questa modulazione viene rinominata OOK (On Off Keying), per analogia con i concetti di acceso (la portante c'è) e spento (la portante non c'è).

Per analizzare le performance di queste modulazioni occorrerebbe un'approccio statistico che eviteremo per non appesantire troppo la lettura. Andiamo invece ad indagare direttamente i risultati:

• la banda del segnale modulato risulta essere circa uguale a (1/T), dove T rappresenta la durata di un singolo bit;
• affinchè la probabilità di errore sia bassa a piacere, occorre garantire al ricevitore un segnale ricevuto con rapporto segnale-rumore di una certa quantità. Ad esempio, per questa modulazione per avere un BER (Bit Error Rate) di 10^-6, occorre un rapporto E_b/N₀ pari a 13.5 dB.

Una variante a questa modulazione è la DSB (Double Side Band), in cui invece di associare allo 0 logico il valore 0, si associa il valore -1. In Figura 2 viene rappresentato un esempio di segnale modulato DSB.

Figura 2: segnale modulato ASK-DSB, con modulante in rosso, portante in blu e modulata in nero

Quando il segnale modulante (in rosso) assume il valore dello 0 logico, il segnale modulato (nero) assume la forma del segnale portante (blu) ma con segno meno. Analizziamo questa variante dal punto di vista delle prestazioni:

• la banda del segnale modulato risulta essere circa uguale a (1/T), dove T rappresenta la durata di un singolo bit. L'efficienza spettrale resta identica a quella della OOK;
• per avere un BER (Bit Error Rate) di 10^-6, occorre invece un rapporto E_b/N₀ pari a 10.5 dB. Ovvero, a parità di probabilità di errore questa variante necessita di  -3dB di SNR in ricezione, cioè viene risparmiata metà della potenza rispetto alla precedente. Risulta quindi maggiormente efficiente in potenza.

Per quanto riguarda la demodulazione, esistono differenti tipi di demodulatori, sia coerenti che non. Ricordiamo che coerenza implica la conoscenza, o meglio, la ricostruzione della portante. Un tipico demodulatore coerente per modulazione ASK è quello riportato in Figura 3.

Figura 3: demodulatore coerente per modulazione ASK

Nella sostanza, dopo la ricostruzione della portante, il segnale viene riportato in banda base attraverso il mixer. A questo punto un decisore a soglia valuta se alla forma d'onda analizzata va associato un 1 logico o uno 0 logico. Per prendere la decisione si utilizza una soglia posta a metà tra i valori elettrici associati ai due valori binari. Il rumore può causare l'attraversamento non voluto della soglia, in alto o in basso, e questo causa l'errore di decisione. Da ciò si può intuire il perchè il modello DSB sia più efficiente in potenza rispetto all'OOK: se i valori elettrici, associati ai valori binari, sono più distanti tra loro, ci saranno meno possibilità di attraversamenti non voluti della soglia e quindi meno probabilità di errore. La Figura 4 riassume il discorso appena fatto sul decisore a soglia: il segnale v(t) può, a causa del rumore additivo, ridursi o anche passare dall'altra parte della soglia come nel caso OOK, essendo la distanza tra i valori più piccola.

Figura 4: distanze tra i valori associati a 0 logico e 1 logico con la soglia del decisore, per le due varianti ASK, DSB (rosso) e OOK (blu)

Phase Shift Keying (PSK)

Nella modulazione PSK viene fatta variare la fase del segnale portante in accordo con il valore del bit o del gruppo di bits che si vuole trasmettere. Nel caso di modulazione 2-PSK i valori da trasmettere sono lo 0 logico e 1 logico, quindi si trasmetterà il primo con fase nulla ed il secondo con fase di 180°, ovvero in controfase. In questo modo si ottiene la maggiore distanza in fase tra i due segnali e ciò rende minima la probabilità di errore. Si può notare che nell'ASK DSB, moltiplicare il segnale portante per -1 equivale a spostarne la fase di 180°; in sostanza, da un punto di vista concettuale, le due modulazioni si equivalgono anche nei risultati. [...]

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