Verso una formulazione assiomatica dell’Elettrotecnica e dell’Elettronica: il caso del diodo a giunzione

L'Analisi matematica unita all'utilizzo di software di calcolo simbolico/numerico, offre la possibilità di simulare il comportamento circuitale di componenti elettrici tipici, in particolare i componenti non lineari come ad esempio, il diodo a giunzione p-n. Tale paradigma permette il raggiungimento di risultati che sfuggono all'analisi convenzionale che schematizza il componente - nel caso specifico del diodo - attraverso un modello lineare a tratti. Ad esempio, considerazioni di natura analitica unite all'utilizzo di alcuni teoremi di Analisi matematica, permettono di stabilire il range dei valori del carico resistivo di un raddrizzatore a semplice semionda. Per la componente computazionale ci siamo affidati al software Mathematica che implementa la possibilità di integrare simbolicamente equazioni differenziali non lineari, utilizzando alcune funzioni speciali della fisica-matematica.

Introduzione e sintesi degli argomenti

Lo scopo principale del presente articolo è un'assiomatizzazione dell'analisi circuitale di reti elettriche contenenti componenti tipici (resistori, induttori, etc.), con particolare riguardo al diodo a giunzione p-n. Nelle sezioni 2 e 3 passeremo in rassegna le principali proprietà dei componenti elettrici di tipo resistivo, ovvero di quei componenti per i quali esiste una relazione funzionale tra la differenza di potenziale e l'intensità di corrente, definendo alcune grandezze caratteristiche (conduttanza e resistenza differenziale). Verrà quindi discussa la regolarità della funzione che lega la corrente alla tensione, introducendo poi la nozione di tensione di offset, una potenziale discontinuità della derivata della predetta funzione (come effettivamente accade per il modello linearizzato del diodo a giunzione).

Nella sezione 4 - dedicata al comportamento di un circuito raddrizzatore - partendo da condizioni molto generali e richiedendo la continuità della derivata della funzione tensione-corrente (o della sua inversa), giungeremo a un'espressione che è proprio quella del diodo a giunzione. Nel paragrafo 5 mostreremo l'esistenza di un parametro caratteristico del diodo legato a quelli già noti, dalla seguente relazione:

resistenza_termica1_d

dove le grandezze a numeratore verranno definite in seguito. Per ora osserviamo che VT è una grandezza con le dimensioni di una differenza di potenziale, mentre i0 è la corrente di saturazione inversa. Ebbene la grandezza RT che ha le dimensioni di una resistenza, determina l'effetto raddrizzatore del diodo. Infatti se la resistenza di carico è maggiore (di vari ordini di grandezza) di RT, il diodo risulta "trasparente" alla tensione alternata applicata all'ingresso del circuito raddrizzatore. Nel limite opposto, cioè se la resistenza di carico è nettamente inferiore a RT, si ha un buon effetto raddrizzatore.

Caratteristica tensione-corrente

Assegnato un sistema di assi cartesiani ortogonali, riportiamo in ascisse i valori della tensione v ai capi di un componente di tipo resistivo e in ordinata i valori della corrente i. Variando v e misurando la corrente, vediamo che il punto (v,i) si sposta nel suddetto piano cartesiano descrivendo una curva di equazione:

tensione-corrente

denominata caratteristica tensione-corrente del componente assegnato.

Osservazione: Indichiamo le differenze di potenziale (d.d.p.) ai capi di un componente con una lettera minuscola del tipo v, a volte dotata di un apice che rappresenta il componente assegnato. Ad esempio, vR denota la d.d.p. ai capi di un resistore, vL la d.d.p. ai capi di un induttore, e così via. Le forze elettromotrici sono invece indicate con lettere maiuscole come, ad esempio, V.

Riguardo alla regolarità della funzione (2) appare ragionevole richiedere la sua continuità nel campo reale R. Infatti, non avrebbe senso considerare una i(v) con punti di discontinuità di prima specie se non addirittura di seconda specie (singolarità). D'altra parte la continuità da sola non basta, nel senso che ci aspettiamo una curva i=i(v) "liscia", per cui imponiamo la derivabilità che, come è noto, garantisce l'esistenza della retta tangente in ogni punto della predetta curva. Questa condizione è vitale in quanto ci permetterà di definire la conduttanza differenziale. Generalizzando ci riferiamo alle cosiddette funzioni di classe Cp su R, ovvero alle funzioni continue in R e dotate di derivate continue fino a un ordine assegnato p. Tale locuzione è simboleggiata da:

continuita-funzione-derivat

ove Cp(R) denota l'insieme delle funzioni reali di una variabile reale che siano continue su tutto R assieme alle derivate fino all'ordine p.

Osservazione: Indicheremo la derivata rispetto al tempo t o rispetto a una variabile del tipo v, con la notazione apicale di Lagrange, cosicchè:

notazione_derivata

Una richiesta fondamentale è la monotonia in senso stretto della funzione (2).

Condizione 1:

Condizione necessaria affinchè la (2) rappresenti un componente fisicamente realizzabile, è che i(v) sia strettamente crescente in R, ovvero:

funzione_crescente

In virtù di tale condizione non esiste alcun componente elettrico con caratteristica tensione-corrente come quella riportata in figura 1.

Figura 1. La funzione i(v) è strettamente decrescente nell'intervallo [v1,v2]: aumentando la differenza di potenziale, la corrente diminuisce.

Figura 1: La funzione i(v) è strettamente decrescente nell'intervallo [v1,v2]: aumentando la differenza di potenziale, la corrente diminuisce.

Conduttanza differenziale e resistenza differenziale

La rapidità con cui la corrente i aumenta al crescere di v è misurata dalla derivata di i(v):

conduttanza-differenziale

che si chiama conduttanza differenziale del componente assegnato, ed è la pendenza della curva tensione-corrente. La richiesta che i(v) sia strettamente crescente si traduce in

conduttanza-positiva
Definizione 1:

Un componente si dice circuito aperto se la (2) è la funzione identicamente nulla:
circuito-aperto

Cioè per un qualunque circuito aperto, la conduttanza è la funzione identicamente nulla. Esistono alcuni componenti che con buona approssimazione si comportano come circuiti aperti a tratti, nel senso che hanno una conduttanza non nulla solo per un particolare range di valori della differenza di potenziale. Come vedremo in seguito, questo è il caso dei raddrizzatori ideali.

Evidentemente:

regolarita_conduttanza

Tuttavia è possibile indebolire tale condizione includendo al più le discontinuità di prima specie di g(v), ovvero i punti angolosi della curva i=i(v). Infatti, esistono componenti elettrici con una caratteristica tensione-corrente del tipo:

tensione_offset
dove vγ è la cosiddetta tensione di offset. In generale, il punto (vγ,0) è di raccordo per la funzione i(v) e per la sua derivata prima, come nell'esempio seguente:

punto-raccordo
Qui a>0 è un coefficiente che fissa le giuste dimensioni della grandezza i(v), il cui grafico è riportato in figura 2.

Caratteristica tensione-corrente di un componente con tensione di offset. Il punto corrispondente è di raccordo per la funzione i(v) e per la derivata prima i'(v).

Figura 2: Caratteristica tensione-corrente di un componente con tensione di offset. Il punto corrispondente è di raccordo per la funzione i(v) e per la derivata prima i'(v).

In altri casi, invece, la caratteristica tensione-corrente può avere un punto angoloso in (vγ,0). Ciò si verifica nel modello linearizzato del diodo a [...]

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8 Commenti

  1. Maurizio Di Paolo Emilio Maurizio Di Paolo Emilio 7 febbraio 2017
  2. Gianluca Angelone Gianluca Angelone 8 febbraio 2017
    • Maurizio Di Paolo Emilio Maurizio Di Paolo Emilio 8 febbraio 2017
    • Marcello Colozzo 13 febbraio 2017
    • Marcello Colozzo 13 febbraio 2017
    • Marcello Colozzo 14 febbraio 2017

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