Numeri primi: tabelle e definizioni ma anche molto fascino e curiosità

I numeri primi hanno sempre esercitato un grande fascino per i matematici e per l’umanità intera. Protagonisti di film e best seller letterari, hanno stimolato la fantasia di milioni di persone. Ma cosa sono i numeri primi? Chi li ha scoperti? Vediamo insieme i concetti principali legati a questi numeri particolari e l’uso che ne è stato fatto, per esempio nell’ambito della crittografia.

Cosa sono i numeri primi

Un numero primo è un numero intero e positivo (cioè un numero naturale) maggiore di 1 che può essere diviso solo per 1 e per se stesso. Per esempio, 2, 3, 5 e 7 sono numeri primi, mentre 4 non lo è perché è divisibile anche per 2. L'unico numero primo che è anche pari è il numero 2, in quanto ovviamente tutti gli altri numeri pari sono divisibili come minimo anche per 2. In passato anche l’1 veniva considerato da molti un numero primo, sebbene si trattasse di un caso particolare. Oggi si tende ad escluderlo, perché considerarlo un numero primo costringerebbe a riformulare in modo molto complicato diversi teoremi che riguardano i numeri primi.

I numeri primi sono stati studiati sin dall'antichità, anche se non si sa con certezza quando sia stata formulata la prima teoria al riguardo. Il primo reperto che potrebbe essere collegato ai numeri primi è l’osso di Ishango, dove ci sono dei segni relativi ai numeri dal 10 al 20 che sembrano assegnare qualche particolarità a questi numeri speciali.

Ma i primi risultati di una qualche rilevanza matematica risalgono agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, datati attorno al 300 a.C. In questo libro di trovano il teorema dell’infinità dei numeri primi e il lemma di Euclide. Sempre ai Greci si deve l’invenzione del crivello di Eratostene, un semplice algoritmo che serve a definire se un numero è primo oppure no.

Nel 1600 lo studio dei numeri primi conobbe nuovo vigore grazie alle teoria di Pierre de Fermat e del monaco francese Marin Mersenne. Il primo sviluppò il piccolo teorema di Fermat e il teorema sulla somma di due quadrati; il secondo studiò i numeri primi come esponenti di particolari formule, dando origine ai “primi di Mersenne”.

Nonostante questo, numerose formule che li riguardano non sono state ancora dimostrate: ad esempio l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e la congettura dei primi gemelli, che ad oltre un secolo dalla loro formulazione, non sono state ancora dimostrate.

Il mistero dei numeri primi

Ma perché i numeri primi sono così affascinanti? Probabilmente perché tutti si rendono conto della loro particolarità, anche chi non è esperto di matematica. Non a caso il libro di Paolo Giordano “La solitudine dei numeri primi” è diventato un best seller, anche grazie al fascino del suo titolo.

In più, uno degli usi più importanti dei numeri primi è legato alla crittografia, cioè alla capacità di scrivere messaggi cifrati. Infatti, la difficoltà di fattorizzare grandi numeri ha portato allo sviluppo di un metodo efficace di crittografia a chiave pubblica. In questo sistema, chi deve ricevere un messaggio cifrato genera una chiave formata da tre numeri: uno è il prodotto di due numeri primi di grandi dimensioni, mentre gli altri due sono l'uno l'inverso dell'altro modulo. Uno tra questi ultimi due numeri deve essere tenuto segreto e dunque diventa la chiave privata, mentre l'altro deve essere reso noto andando a formare la chiave pubblica.

E se parliamo di numeri misteriosi e affascinanti, non si può non pensare alla famosa successione di Fibonacci, che splende dalla cupola della Mole Antonelliana di Torino e che è stata portata alla conoscenza del grande pubblico dal film “Il Codice da Vinci”. Nella successione di Fibonacci ogni numero (eccetto i primi due) è la somma dei precedenti due: quindi i primi numeri di Fibonacci sono 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via. Ovviamente nella serie ci sono anche numeri primi: il più grande numero primo di Fibonacci (81.839) è stato segnalato nel 2001 da David Broadbent e Bouk de Water.

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4 Commenti

  1. electropower 25 Giugno 2011
  2. Emanuele 25 Giugno 2011
  3. linus 28 Giugno 2011
  4. lucagiuliodori 4 Luglio 2011

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