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Elettronica a basso rumore, tra magia nera e falsi profeti II

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Come dagli impegni presi, anche se con ingiustificabile ritardo, eccomi ad illustrare nei dettagli l'esempio numerico che mostra come la minimizzazione della figura di rumore non implica la massimizzazione del rapporto segnale rumore in uscita.

La figura iniziale, riportata qui di seguito,

è lo schema di principio di un sistema sensore-amplificatore. Le caratteristiche di rumore dell'amplificatore si suppongono note e fisse. Esse vengono schematizzate con due generatori in ingresso proprio come accade nella più diffusa letteratura scientifica.

Sia A l’amplificazione del doppio bipolo e Zi la sua impedenza d’ingresso (non indicata). Siano inoltre:
Se la densità spettrale del generatore di rumore in tensione, supposta nota e pari a 10^-18 V^2/Hz
Si la densità spettrale del generatore di rumore in corrente, anch’essa nota e pari a 10^-24 A^2/Hz
St la densità spettrale del rumore generato dalla impedenza di sorgente e pari a 4KTRs
Su la densità spettrale del segnale utile.
Da questi dati, applicando le regole di dualità esistenti tra il calcolo simbolico e analisi spettrale è possibile scrivere l’SNR in uscita.

La formula (1)

indica proprio l'SNR, ossia il rapporto tra il valor quadratico medio del segnale utile e il valor quadratico medio del rumore totale in uscita. Sul segnale utile non sono state fatte ipotesi particolari, si è supposto solo che sia descrivibile da un processo aleatorio di tipo stazionario.

Dove Δf indica la banda di lavoro ed inoltre, ça va sans dire, l’SNR in questo caso è da intendersi come rapporto tra il valor quadratico medio del segnale utile e il valor quadratico medio del rumore. Semplificando si ottiene:

Semplificando si ottiene la (2).

Nella (3)

si ipotizza l'impedenza puramente resistiva e per la resistenza di sorgente il valore che minimizza la cifra di rumore (come indicato in letteratura) e si calcola il relativo SNR ottenendo la (4).

Analogamente nella (5),

si suppone per essa  un valore diverso (valore di comodo ai fini della dimostrazione) e si calcola il SNR. Facendo il rapporto dei due SNR, si ottiene il paradosso.
Si potrebbero fare altri esempi di tipo diverso che porterebbero alla stessa conclusione. Ad esempio, si potrebbe supporre un sistema sorgente-BJT dove l'unico parametro libero è la corrente di collettore. Si potrebbe dimostrare che scegliendo la corrente di polarizzazione che minimizza la figura di rumore, l'SNR non è massimizzato!
 

Nota: ho utilizzato le densità spettrali, ma identici risultati si ottengono con le medie temporali dei segnali in gioco elevati al quadrato.

AllegatoDimensione
per elettronica open source finale.pdf215.58 KB

 

 

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ritratto di CarloP

La matematica come strumento fondamentale anche nell'elettronica

La matematica come strumento fondamentale anche nell'elettronica. Pensateci cari studenti prima di odiarla.

Un Professore

ritratto di beno82

Salve. Il calcolo proposto non fa una piega, ma parte da un p

Salve.
Il calcolo proposto non fa una piega, ma parte da un presupposto che non è scontato. E' abbastanza logico che il S/N in uscita sia minimizzato per Rs che tende a zero, vista la sua espressione, che vede un denominatore che è funzione monotona crescente in Rs (almeno per valori positivi di Rs).
La Rs ottima è quella in cui il rumore aggiunto dal quadripolo, rispetto a quello che ci sarebbe in uscita se il quadripolo stesso non ne aggiungesse, è minimo. Ma è ovvio che aumentando Rs peggiora il rapporto S/N in ingresso e quindi quello in uscita.
Conviene minimizzare il S/N in uscita invece della cifra di rumore solamente se si ha la libertà di scegliere la resistenza di sorgente Rs: a quel punto, minore è Rs, minore è il rumore.

Nella maggior parte dei casi, però, Rs è fissa e non modificabile, e quello che si fa è adattare la Rs con una rete puramente reattiva (che non introduce rumore) al quadripolo, facendo in modo che il quadripolo stesso veda la resistenza Rs ottima. Così facendo si riduce il rumore introdotto dal quadripolo senza modificare il rapporto segnale rumore in ingresso e, quindi, si ottengono benefici massimi.

ritratto di beno82

Mi scuso e mi correggo: intendevo "il S/N in uscita sia MASSIMIZ

Mi scuso e mi correggo: intendevo "il S/N in uscita sia MASSIMIZZATO per Rs che tende a zero, vista la sua
espressione, che vede un denominatore che è funzione monotona crescente
in Rs"

ritratto di Giancarlo Aielli

La competenza che traspare dalle argomentazioni del commento imp

La competenza che traspare dalle argomentazioni del commento impongono una replica ponderata e meditata. Come tale non puo' essere immediata ma ci sarà sicuramente!! Saluti.

ritratto di Giancarlo Aielli

Uno degli aspetti più affascinanti dell'elettronica è che essa s

Uno degli aspetti più affascinanti dell'elettronica è che essa si serve di sofisticata e raffinatissima matematica. Non un tipo qualsiasi di matematica, ma quella che a mio avviso ha maggior nobiltà e rango più elevato, la matematica applicata. Ritengo sia innegabile che i risultati della "matematica pura" acquistino una importanza maggiore quando trovano delle applicazioni!! Saluti.

ritratto di Giancarlo Aielli

Partendo da "E' abbastanza logico che il S/N in uscita sia MASSI

Partendo da "E' abbastanza logico che il S/N in uscita sia MASSIMIZZATO per Rs che tende a zero, vista la sua espressione, che vede un denominatore che è funzione monotona crescente in Rs (almeno per valori positivi di Rs)" è proprio il concetto che volevo esprimere in contrapposizione al fatto che, nei "sacri testi", si parte dall'espressione della figura di rumore e si evidenzia "come sarebbe bello se potessimo avere generatore di segnale con una resistenza d'uscita pari Rs_opt che minimizza F". Dei pochissimi libri da me letti nessuno focalizza l'attenzione sull'SNR in uscita. Riguardo a "Nella maggior parte dei casi, però, Rs è fissa e non modificabile, e quello che si fa è adattare la Rs con una rete puramente reattiva (che non introduce rumore) al quadripolo, facendo in modo che il quadripolo stesso veda la resistenza Rs ottima", è vero che una rete reattiva non aggiunge rumore ma è chiaro che influisce sull' SNR , in maniera non facilmente prevedibile nè necessariamente in maniera vantaggiosa.

ritratto di beno82

Probabilmente la competenza che traspare è superiore a quella ch

Probabilmente la competenza che traspare è superiore a quella che c'è in realtà, visto che sono semplicemente un laureando (spero quasi laureato) in ing. elettronica, senza granché esperienza.
Sono perfettamente d'accordo sul fatto che l'affermazione sulla bellezza di progettare sorgenti con Rs uguale a quella ottima del quadripolo è molto imprecisa. Sarebbe bello sì, ma dal punto di vista esclusivo di colui che deve progettare il solo quadripolo, poiché si trova un pezzo di lavoro già fatto.
Per chi progetta anche la sorgente invece, l'obiettivo dovrebbe essere quello di ridurla al minimo possibile quella resistenza Rs per avere un migliore S/N in ingresso al quadripolo. Dopodichè la rete di adattamento fa vedere al quadripolo la sua Rs ottima e così anche lui introduce meno rumore. Così è tutto minimizzato. Sbaglio?

ritratto di Giancarlo Aielli

La competenza non necessita di titoli. La procedura che proponi

La competenza non necessita di titoli. La procedura che proponi non mi sembra sbagliata tuttavia, a mio parere, non esiste "la procedura" per questo genere di problemi. Volendo sintetizzare il tutto è possibile fissare alcuni punti. 1) Se si sceglie di ricondurre la progettazione ad un problema di massimo e minimo, meglio scegliere di massimizzare l'SNR invece di minimizzare la figura di rumore, poichè il primo non "riserva sorprese". 2) Non è importante il colore del gatto, l'importante è che acchiappi i topi! Saluti.

ritratto di Piero Boccadoro

Standing ovation e massima solidarietà per Lei, professore! L

Standing ovation e massima solidarietà per Lei, professore!
Lei ha perfettamente ragione.
Tuttavia, sarebbe anche giusto dire che non è che il 60% di voi docenti faccia di tutto per renderla meno ostica :)
Diciamo che io mi baso su quelo che so, sulla mia esperienza di studente (e le garantisco che ne ho passate di tutti i colori!!!) e su quello che ho fatto una volta averla studiata e cioè fare ripetizioni ad altri ragazzi dalle superiori fino all'università.
La matematica è un linguaggio, uno strumento, un mezzo e certamente non un fine.
Se i docenti si soffermassero per una lezione di due ore intere su questo e su tutto ciò a cui serve piuttosto che sciorinare esercizi a tutto spiano ininterrottamente FORSE la matematica farebbe appassionare più persone.
E lo dico e lo rivendico con orgoglio perchè questo modo di vedere le cose sono stato costretto a maturarmelo da me :)

 

 

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