Analisi del rumore nei circuiti elettrici

Immaginiamo di avere un amplificatore audio ad alto guadagno, a cui non è applicato alcun segnale d'ingresso. Collegando l'uscita a un altoparlante, si ascolta comunque un debole fruscio. Se proviamo a sostituire l'altoparlante con un oscilloscopio, osserviamo un andamento molto simile a quello riportato in figura 1.

Di cosa si tratta

Figura 1. Tipico andamento della tensione di uscita in un amplificatore ad alto guadagno, in assenza di segnale di ingresso.

Figura 1. Tipico andamento della tensione di uscita in un amplificatore ad alto guadagno, in assenza di segnale di ingresso.

Abbiamo, dunque, un segnale in uscita con un andamento piuttosto irregolare, tecnicamente noto come rumore (in parte trattato in questo precedente articolo). Si tratta di un processo che emerge da processi legati a fluttuazioni spontanee di costituenti sub-microscopici (si pensi, ad esempio, agli elettroni). In alcuni casi tali fluttuazioni sono generate dall'agitazione termica per cui ci si aspetta un aumento del livello di rumore al crescere della temperatura di lavoro dei componenti dell'amplificatore.

Matematicamente, il rumore è un processo aleatorio stazionario. Con tale locuzione si intende una grandezza fisica che varia casualmente nel tempo, ma con un valor medio costante. Nel caso dell'amplificatore, ciò può essere constatato alzando o abbassando il controllo del guadagno. Il carattere aleatorio del rumore ci costringe a distinguere i segnali per così dire, "regolari" ovvero deterministici, da quelli non deterministici i.e. aleatori. Il principale strumento matematico di indagine è ovviamente la trasformata di Fourier. Tuttavia, nel caso dei segnali aleatori c'è la complicazione derivante dalla non conoscenza dell'espressione analitica del segnale assegnato. Si cerca allora di determinare lo spettro di potenza del rumore che permette - attraverso un noto teorema - di determinare la funzione di autocorrelazione ed in ultima istanza l'andamento temporale del rumore medesimo.

Introduzione

Consideriamo un circuito elettrico costituito da una resistenza ohmica R sottoposta a una differenza di potenziale assegnata. Tale grandezza può essere costante o variabile nel tempo t, per cui la corrente che attraversa R è:
legge_di_ohm1

essendo V(t) la predetta d.d.p. In particolare, possiamo avere una funzione periodica di periodo T:
tensione_periodica

o non periodica, ma sufficientemente regolare:
tensione_non_periodica

Come è noto, per lo studio di una rete lineare quale è quella assegnata, si applica il formalismo dell'Analisi di Fourier (trattata in un precedente articolo). In particolare, nel caso periodico si sviluppa V(t) in serie di Fourier che in notazione complessa si scrive:
svilupposeriefourier

Dalla (1):
correntefourier

rammentando che al termine dei calcoli dobbiamo prendere la parte reale del secondo membro della (5) troncato a un assegnato ordine N di approssimazione:
corrente1fourier
Osservazione
Si badi a non confondere il simbolo T del periodo con quello della temperatura assoluta T, che utilizzeremo in seguito.

Nel caso non periodico sviluppiamo V(t) in integrale di Fourier:
integrale_fourierV
cosicché la corrente che attraversa la resistenza si scrive:
fourier_corrente
È fondamentale comprendere il ruolo svolto dalla funzione:
densitaspettrale1
ovvero dalla trasformata di Fourier di V(t), nota anche come densità spettrale di V(t), giacché lo sviluppo integrale:
sviluppo_integrale
esprime V(t) attraverso una sovrapposizione lineare di infinite componenti sinusoidali
componenti_fourier1
di ampiezza infinitesima:
componenti_fourier2
Più precisamente, per un'assegnata frequenza angolare ω₁, la grandezza
ampiezza_fourier
è l'ampiezza delle componenti di Fourier di frequenza ω appartenente all'intervallo infinitesimo [ω₁,ω₁+dω]. Ne consegue che la funzione reale:
densitaspettralle2

è l'ampiezza delle componenti di Fourier per intervallo unitario di frequenza. Da qui la denominazione densità spettrale per tale grandezza. Nel sistema S.I. misuriamo la d.d.p. in Volt (V ) e il tempo in secondi (s ), per cui segue dalla (9) che V(ω) e quindi ρ(s), si misura in V/Hz . Consideriamo ora la funzione reale:
spettro_potenza0

Per esplicitare il significato fisico della (15) riprendiamo il circuito con una sola resistenza R sottoposta alla d.d.p. V(t). La potenza dissipata per effetto Joule è:
potenza_joule

Per determinare il valor medio nel tempo di W(t), fissiamo un intervallo di tempo Δt>0, per cui il valore medio di W(t) in tale intervallo è:
potenza_media_joule

che è una funzione di %Delta;t. Quindi il valor medio in (-oo,+oo) della potenza W(t) è:
potenza_media2_joule

Dalla (16) segue
potenza_media3_joule
D'altra parte, per definizione di potenza:
potenza_media4_joule
dove il termine a numeratore al secondo membro è è l'energia media nell'intervallo Δt. Segue:
energia_media_joule

Eseguendo il limite per Δt->+oo otteniamo l'energia media nell'intervallo di tempo (-oo,+oo):
energia_media_joule2

che è anche denominata energia totale del segnale elettrico V(t). Per l'uguaglianza di Parseval (trattata in un documento in Rete):
parseval
e tenendo conto della (15):
energia_media_joule3

In altri termini, la grandezza (15) definisce lo spettro dell'energia media sviluppata dalla resistenza unitaria. Tale densità spettrale è impropriamente denominata spettro di potenza del segnale V(t). Il caso matematicamente più semplice è quello di una oscillazione sinusoidale limitata nel tempo (trattato in un documento in Rete), come mostrato in figura 2.

[...]

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13 Commenti

  1. Marcello Colozzo Marcello Colozzo 20 giugno 2019
  2. Alessandro Alessandro 20 giugno 2019
  3. Giordana Francesca Brescia Giordana Francesca Brescia 20 giugno 2019
  4. Giovanni Di Maria Giovanni Di Maria 21 giugno 2019
    • Marcello Colozzo Marcello Colozzo 21 giugno 2019
    • Alessandro Alessandro 21 giugno 2019
      • Marcello Colozzo Marcello Colozzo 24 giugno 2019
      • Marcello Colozzo Marcello Colozzo 24 giugno 2019
  5. SeggeTauli 21 giugno 2019
  6. Marcello Colozzo Marcello Colozzo 21 giugno 2019

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