La trasformata di Fourier, sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822 e illustrata nel suo trattato "Théorie analytique de la chaleur" (Teoria analitica del calore), è uno degli strumenti matematici più utilizzati nell'ambito delle scienze pure e applicate, dall'ingegneria del suono fino al test e verifica di strumentazione. Cerchiamo, allora, di capire in cosa consiste tale strumento e vedremo quali sono le sue principali applicazioni.
1 Definizione
Se f(x) è una funzione appartenente allo spazio L1(R; C), ossia è una funzione definita sull'insieme dei numeri reali R, a valori complessi e tale che esista finito l'integrale di Lebesgue di |f(x)| su R, si defi nisce trasformata di Fourier di f e si indica con 
oppure con 
, la funzione
Osserviamo che, poiche |f(x)e-iλx| = |f(x)|, il fatto che f(x) sia di classe L1(R; C) implica che anche la funzione f(x)e-iλx lo sia; pertanto, il suddetto integrale (di Lebesgue), detto anche integrale di Fourier, è ben defi nito.
Volendo limitarci all'ambito delle funzioni integrabili secondo Riemann (che sono un sottoinsieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue), la definizione data di trasformata di Fourier rimane inalterata.
Questa definizione non è adottata da tutti gli autori di testi tecnico-scientifici: alcuni sostituiscono e-iλx, detto anche nucleo di Fourier, con e-2πiλx o (2π)-1/2e-iλx.
1.1 Le trasformate integrali
La trasformata di Fourier è un esempio di trasformata integrale. Una trasformata integrale è un'applicazione tra due spazi di funzioni definita tramite una formula di questo tipo:
Dove K(λ, x) è una funzione, detta nucleo integrale o kernel, che, insieme all'intervallo di integrazione I, caratterizza il tipo di trasformata. Per K(λ, x) = e-iλx e I = R, otteniamo la trasformata di Fourier.
Oltre a quella di Fourier, tra le principali trasformate integrali vi sono quelle di:
- Abel,
- Hankel,
- Hartley,
- Hilbert,
- Laplace,
- Mellin,
- Weierstrass.
1.2 Serie e trasformata di Fourier
Il metodo dello sviluppo in serie di Fourier ci consente di esprimere una funzione periodica di periodo T appartenente a L2([-T/2, T/2]) (ovvero esiste finito l'integrale di Lebesgue tra -T/2 e T/2 del quadrato del suo modulo) come combinazione lineare infi nita di funzioni sinusoidali (seni e coseni), oppure di esponenziali a esponente immaginario. Fourier si pose il problema di estendere questo suo metodo anche alle funzioni non periodiche defi nite su tutto l'asse reale. Vediamo ora in che modo tale problema venne risolto e come ciò diede origine alla trasformata di Fourier.
Consideriamo, ad esempio, la seguente funzione:
È possibile esprimerla come combinazione lineare di funzioni periodiche elementari? Restringiamo il dominio di f(x) ad un intervallo [-L, L] (dove L è un'arbitraria costante positiva) e facciamone poi il prolungamento periodico. Abbiamo così ottenuto una funzione periodica di periodo 2L che chiamiamo fL, rappresentata dal seguente grafico:
Dunque, possiamo svilupparla in serie di Fourier, ad esempio nella forma esponenziale complessa:
A questo punto, si può dimostrare che, sotto opportune ipotesi (che illustreremo nel paragrafo 3), facendo tendere L all'infi nito, si ottiene:
Che fL tenda a f per L tendente ad infinito sembra abbastanza ovvio. La formula a sinistra ci dice che è possibile scrivere come "combinazione lineare infinita" di esponenziali immaginari anche una funzione non periodica, a patto di considerare come combinazione lineare infinita non una serie ma un integrale. Quindi, se la funzione non è periodica, al posto della successione dei coefficienti di Fourier ck abbiamo la funzione g(λ) che, come possiamo vedere, è proprio la trasformata di Fourier di f.
La serie e la trasformata di Fourier costituiscono le "fondamenta" di quella branca della matematica chiamata analisi di Fourier o analisi armonica.
1.3 Esempio
La funzione
è chiaramente di classe L1(R) e pertanto possiamo calcolarne la trasformata di Fourier:
2 Alcune proprietà
2.1 Linearità
Una prima proprietà, immediata ma importante, della trasformata di Fourier è la linearità:
dove f e g sono due funzioni di classe L1(R; C), mentre α e β sono due numeri reali o complessi.
2.2 Trasformata di Fourier di funzioni pari e dispari
In virtù della formula di Eulero (eix = cosx+isenx), si può scrivere:
che, se f è pari (f(-x) = f(x)), diventa:
ovvero diventa la trasformata coseno di f; mentre, se f è dispari (f(-x) = -f(x)), si ha:
che è la trasformata seno di f moltiplicata per -i.
2.3 Continuità e andamento all'infi nito
Si può dimostrare che 
è una funzione continua su tutto R e tendente a 0 per λ che tende a ±∞.
2.4 Trasformata di Fourier delle derivate
Se f appartenente a L1(R) è derivabile e f' appartiene anch'essa a L1(R), è possibile dimostrare che
Se esistono anche le derivate f'', f''', ..., f(p) e appartengono tutte a L1(R), iterando la precedente relazione, si ottiene:
per ogni k = 1, ..., p.
Questa proprietà è particolarmente importante perché, come vedremo, consente la risoluzione di alcune equazioni differenziali.
2.5 Derivabilità della trasformata di Fourier
Sia f è appartenente a L1(R) ed è tale che le funzioni xf, x2f, ..., xpf appartengano tutte ad L1(R), allora la trasformata di Fourier di f è di classe Cp(R) (ossia, ammette in R le prime p derivate e sono tutte continue) e inoltre, chiamandola g, si ha:
2.6 Altre proprietà
Altre proprietà della trasformata di Fourier sono le seguenti:
Il trattino sopra la "f" sta ad indicare che si tratta della coniugata di f. Ovviamente, se f assume solo valori reali, essa coincide con la sua coniugata.
3 L'antitrasformata di Fourier
Se g(x) è una funzione appartenente a L1(R; C), si de finisce antitrasformata di Fourier (o trasformata di Fourier inversa) di g la funzione
Sorge subito spontaneo chiedersi se essa sia l'operatore inverso della trasformata di Fourier, ovvero se valga la seguente uguaglianza:
che equivale alle ultime due formule del sottoparagrafo 1.2. La risposta è che tale relazione non vale per tutte le funzioni di L1(R; C), ma solo per quelle di una classe particolare che ora andremo ad esaminare.
Lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida (o rapidamente decrescenti), indicato con 
, è l'insieme delle funzioni f di classe C∞(R; C) (dette anche funzioni lisce) tali che, per ogni n, k appartenenti ad N, si ha:
In parole più semplici, le funzioni a decrescenza rapida sono funzioni lisce che, insieme alle loro derivate (di qualsiasi ordine: f', f'', f''', ecc.), tendono a 0, per x tendente a ±∞, più rapidamente di 1/xn, per ogni numero naturale n. Un esempio di funzione rapidamente decrescente è exp(-|x|2). Dovrebbere essere abbastanza evidente che 
è contenuto in Lp(R; C), per ogni p tale che 1≤p≤∞.
Si può dimostrare che, se una funzione appartiene allo spazio di Schwartz, lo stesso vale per la sua trasformata di Fourier e si ha:
Più precisamente, la trasformata di Fourier è un automorfismo su 
.
4 Convoluzione
Date due funzioni f e g di L1(R) limitate, si defi nisce convoluzione (o prodotto di convoluzione) fra f e g, e si indica con il simbolo f*g, la funzione
La convoluzione gode delle seguenti proprietà:
- anche f*g è una funzione di L1(R) ed è limitata;
- f*g = g*f;
;
.
5 Trasformata discreta di Fourier
Si definisce trasformata discreta di Fourier di N numeri complessi x0, x1, ..., xN-1 la N-pla di numeri complessi X0, X1, ..., XN-1 ottenuti tramite la seguente formula:
Si noti che i valori e2πik/N (k = 0, ..., N-1) sono le N radici dell'equazione zN-1 = 0 con incognita complessa z, dette anche radici N-esime dell'unità. Pertanto, la trasformata discreta di Fourier può essere interpretata come l'insieme dei valori che la funzione x0 + x1/z + x2/z2 + ... + xN-1/zN-1 assume in esse.
Per ottenere x0, x1, ..., xN-1 a partire da X0, X1, ..., XN-1, si utilizza l'antitrasformata discreta di Fourier:
Poiché richiede un numero finito di operazioni, la trasformata di Fourier discreta può essere sottoposta ad una computazione digitale. Viene calcolata in modo efficiente grazie agli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform).
6 Alcune applicazioni
6.1 Risoluzione di equazioni differenziali
In virtù della proprietà illustrata nel sottoparagrafo 2.4, con la trasformata di Fourier è possibile trasformare un'equazione differenziale a coefficienti costanti in un'equazione algebrica lineare. Consideriamo la seguente equazione differenziale:
au''(x)+bu'(x)+cu(x) = f(x)
Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri, si ottiene:
-aλ2U(λ)+ibλU(λ)+cU(λ) = F(λ)
dove con U(λ) e F(λ) ho indicato le trasformate di u(x) e f(x). Da quest'ultima si ricava:
U(λ) = F(λ)/(-aλ2+ibλ+c)
e, a questo punto, basta applicare l'antitrasformata di Fourier per avere la soluzione u(x) dell'equazione differenziale.
Va precisato però che, per quanto detto nel paragrafo 3, questa procedura è legittimata solo se f(x) e la soluzione u(x) appartengono allo spazio di Schwartz.
La trasformata di Fourier si può applicare anche alla risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Vediamone un esempio.
6.1.1 Equazione del calore
Immaginiamo una barra di lunghezza infi nita, fatta di un materiale conduttore avente conducibilità termica K>0, che inizialmente (all'istante t=0) ha una temperatura data dalla funzione u0(x)≥0. La soluzione u(x, t) dell'equazione
fornisce la temperatura della barra nel punto x ad un istante qualsiasi t>0. Sia v(λ, t) la trasformata di Fourier nella variabile x della funzione u(x, t):
abbiamo che
Supponendo di poter scambiare la derivata rispetto a t con l'integrale (andrebbe dimostrato che è lecito farlo), possiamo scrivere:
ossia
Pertanto, grazie alla trasformata di Fourier, l'equazione del calore si tramuta in
che è un'equazione differenziale ordinaria la cui soluzione è
Poiché
possiamo scrivere:
Come abbiamo visto nel paragrafo 4, il prodotto delle trasformate di Fourier di due funzioni può essere scritto come la trasformata di Fourier della convoluzione delle due funzioni; per cui si ha:
Applicando ad ambo i membri l'antitrasformata di Fourier (assumendo che la trasformata sia invertibile), otteniamo fi nalmente la soluzione dell'equazione del calore:
6.2 Analisi ed elaborazione dei segnali
Sia x(t) una funzione del tempo che rappresenta un segnale. Se calcoliamo la trasformata di Fourier di x(t), ciò che otteniamo è una funzione il cui argomento è la pulsazione angolare del segnale, ovvero la frequenza f moltiplicata per 2π; tale funzione è ciò che si chiama spettro del segnale x(t) e costituisce la sua rappresentazione nel dominio della frequenza. Essa lo scompone nella sommatoria di un numero finito o infinito di onde sinusoidali dette armoniche (ecco perché l'analisi di Fourier viene denominata anche analisi armonica). Se indico con X(f) lo spettro di x(t), ovvero
ad ogni valore di f in cui X è definita e diversa da 0 corrisponde un'armonica avente:
- frequenza = f,
- ampiezza = |X(f)|,
- fase = arg(X(f)).
Le funzioni |X(f)| e arg(X(f)) si chiamano rispettivamente spettro di ampiezza e spettro di fase del segnale x(t). La funzione |X(f)|2 viene chiamata invece densità spettrale di energia di x(t). L'immagine sottostante mostra i grafici di tre segnali e dei loro rispettivi spettri di ampiezza.
Se x(t) è un segnale periodico, la sua trasformata di Fourier è un insieme discreto di valori (coincidenti con i coefficienti di Fourier) e prende il nome di spettro discreto o spettro a pettine; altrimenti lo spettro è continuo e la sua estensione lungo l'asse delle frequenze è inversamente proporzionale a quella del segnale lungo l'asse del tempo.
Se il segnale è discreto (ottenuto, ad esempio, dal campionamento di un segnale continuo), ovviamente si dovrà applicare ad esso la trasformata di Fourier discreta.
La trasformata di Fourier è quindi uno strumento utile per l'analisi dei segnali, ma i suoi pregi non finiscono qui. Essa svolge un ruolo fondamentale anche nell'ambito dell'elaborazione numerica dei segnali; infatti, consente, ad esempio, il loro filtraggio. Supponiamo di voler eliminare dal segnale x(t) tutte le frequenze maggiori di f2 e inferiori a f1. È sufficiente moltiplicare lo spettro X(f) di x(t) per la funzione indicatrice di [f1, f2] (uguale a 1 in [f1, f2] e 0 altrove) e applicare l'antitrasformata alla funzione ottenuta.
Naturalmente, la trasformata di Fourier non è utilizzata solo nell'ambito dell'elettronica e delle telecomunicazioni, ma in tutti gli innumerevoli campi aventi direttamente o indirettamente a che fare con onde e/o segnali: fisica, chimica, sismologia, musica, medicina, astronomia, eccetera.
6.2.1 Esempi
Consideriamo il segnale
detto impulso rettangolare. Il suo spettro è
dove sinc() è il seno cardinale.
Il segnale
è invece un esempio di impulso triangolare e il suo spettro è
6.2.2 Esercizio di elettronica
Determiniamo lo spettro del segnale di uscita del sistema mostrato nella figura seguente, essendo noto lo spettro del segnale in ingresso.
Il diagramma della figura si traduce nella seguente equazione:
dalla quale, applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri, ricaviamo lo spettro di y(t) in funzione di quello di x(t):
Manca però da determinare H(f):
Per risolvere questo integrale, effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: x = -2πft. Gli estremi di integrazione, -∞ e +∞, rimangono invariati se f < 0, mentre se f > 0 vanno invertiti ovvero l’integrale va moltiplicato per -1. Pertanto, l’integrale deve essere moltiplicato per –sgn(f), dove sgn() è la funzione segno.
Essendo cosx/x una funzione dispari, il suo integrale su tutto R è nullo; mentre l’integrale su tutto R di senx/x vale π. Pertanto, si ha:
H(f) = -sgn(f)i
e quindi, concludendo, lo spettro di y(t) è
7 Altri articoli
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- Come sviluppare un oscilloscopio con l’iPhone e dominare la trasformata di Fourier: le immagini,
- Come sviluppare un oscilloscopio su iPhone e dominare la FFT,
- Giocare con la trasformata di Fourier.
Bibliografia
Gilardi G.: analisi tre; Milano, McGraw-Hill Libri Italia srl, 1994.
Stallo C.: MODULO DI ELABORAZIONE DEI SEGNALI, Master universitario in "Lo spazio: Galileo, telecomunicazioni e formazione - SPA"; Roma, Scuola IaD – Università Tor Vergata, 2007.
Bibliografia on-line
La Trasformata di Fourier Discreta e sue applicazioni
La trasformata di Fourier è una figata
Lez 26 - Trasformata di Fourier.avi
Rudimenti di analisi infinito dimensionale
Trasformata discreta di Fourier
Prima di tutto, ringrazierei Marco per l’impegno che ci ha messo.
È praticamente un capitolo di un libro ed è ben spiegato, sebbene ci siano praterie a disposizione per approfondire.
Questo articolo nasce da una riflessione.
Quando studiavo analisi avevo qualche difficoltà a capire questa trasformata.
Quando ho iniziato lo studio dell’analisi dei segnali, ho capito quanto fosse importante.
Dopo un paio di esami ho capito davvero tutto.
E allora, e solo allora, ho potuto ragionare di tante cose e parlarne con altri.
Non sono l’unico studente che ha avuto difficoltà con la trasformata di fourier e sicuramente molti altri verranno.
Gli ingegneri che la usiamo, Marco che la conosce e tutti gli utenti di questa community, potranno certamente discutere sia del suo funzionamento sia delle sue applicazioni.
Sono d’accordo ma ho una domanda su un passaggio. A un certo punto si dice che andrebbe dimostrato quando è lecito scrivere l’equazione di ut. Forse andrebbe spiegato un po’ meglio.
Non è per correggere ma la funziona indicatrice sarebbe il filtro o mi sbaglio?
Intendevo dire che andrebbe dimostrato che la derivata temporale dell’integrale di u(x, t)e^(-iλx) è uguale all’integrale della derivata temporale di u(x, t)e^(-iλx) ovvero all’integrale di ut(x, t)e^(-iλx). Ossia andrebbe dimostrato che è possibile scambiare tra loro l’operazione di derivazione e quella di integrazione. Non sempre è lecito: la funzione integranda deve soddisfare certe ipotesi (http://www-dimat.unipv.it/pier/teaching/miscellanea.pdf).
Praticamente sì.
Grazie Piero, ma cos’è successo agli indici e ai pedici? Scommetto che quando lo hai corretto hai usato il rich text editor, dico bene?
Presto migreremo su un altro server e sarà tutto molto più semplice, funzionale e potente 🙂
Rimanete sintonizzati per le novità 😀
non sono ancora un abbonato per cui purtroppo non posso leggere l’articolo ma conosco qualcuno cui interesserà l’argomento. Glielo consiglio di sicuro.
La ringrazio.
Ottimo articolo, e abbastanza approfondito, vorrei solamente esprimere una piccola opinione.
E’ sempre un ottimo modo conoscere quali teorie ci siano dietro alla matematica che noi ingegneri e/o periti utilizziamo quotidianamente (essendo un amante della dimostrazioni e teoremi), ma (mi perdonerete nel dirlo) non fondamentale (almeno questo è il mio punto di vista.)
Ho conosciuto parecchi miei colleghi che si sono persi nel congiungere le teorie derivanti dalla matematica , per esempio i teoremi dietro alla trasformata, all’utilizzo pratico.
A mio avviso questo è dovuto alla “vastità” di conoscenze matematiche che dovremmo avere, al fine di poter dire , di sapere utilizzare la trasformata di Fourier.
Ad esempio nel momento che in cui ho letto “…integrale di Lebesgue…” mi sono subito ricordato del corso di Analisi 3 in cui si è trattato questo argomento, che apriva tutto un nuovo mondo riguardante il campo dell’integrazione. Comunque senza dilungarmi troppo , e riagganciandomi all’articolo, vorrei concludere dicendo che nella maggiore parte dei casi questi strumenti che sembrano cosi complessi vengono applicati a funzioni reali, nel senso che sono funzioni che sperimentiamo tutti i giorni , e che nella maggior parte dei casi soddisfano tutti i criteri per poter essere integrate secondo Fourier e/o secondo Laplace (es onda quadra, triangolare, seno, coseno, sinc, e chi più ne ha piu ne metta). Di conseguenza , non bisogna intimidirsi nell’utilizzo di questi strumenti.
Spero di non essermi inimicato tutti i matematici del mondo 🙂 perdonatemi, sono aperto alle critiche magari riuscirete a farmi cambiare il mio punto di vista . A presto.
Salve,
la ringrazio. Sono lieto che abbia apprezzato l’articolo.
Se me lo consente, vorrei replicare a quanto da lei affermato suggerendole la lettura di quest’altro mio articolo: http://it.emcelettronica.com/lutilita-fascino-della-matematica.
bell’articolo, ho sempre odiata questa parte della matematica poi quando ho iniziato ad applicarla per semplificare numericamente segnali in uscita da strumentazioni applicate alla chimica mi sono ricreduto…..beh c’è sempre tempo per cambiare idea….comunque bell’articolo forse non alla portata di tutti ma che comunque apre una visuale su cosa serva e come si usi questa funzione così importante…..
Mi sono imbattuto nella lettura di questo articolo reindirizzato dalla seconda parte sulla trattazione matematica del rumore. Che dire, non posso che accodarmi a chi si è già complimentato sulla qualità e la chiarezza dell’articolo. Taglio certamente accademico e non alla portata di tutti, ma lo leggiamo su un blog che copre gli interessi di lettura di un pubblico variegato. Certamente è un ottimo ripasso completo sulla serie e Trasformata di Fourier. Complimenti ancora