La matematica Vedica: una scienza alternativa o nuova matematica?

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Chi ha detto che la matematica tradizionale (quella che conosciamo oggi) è una scienza assoluta? Esistono infiniti modi per eseguire un determinato calcolo aritmetico. Intraprendiamo assieme un piccolo viaggio nei meandri della Matematica Vedica, alla ricerca dell’ingegno e del mistero.

Nell’antico c’è la conoscenza e la saggezza. E in India essi sono radicati più di quanto si possa immaginare. Parecchi teoremi matematici, oggi studiati nelle nostre scuole, erano conosciuti in India migliaia di anni prima che venissero scoperti nella nostra civiltà. E anche oggi, questo Stato sforna cervelli e intelligenze al di sopra di molte realtà, specialmente nel campo aritmetico. Alcuni di essi hanno pure vinto prestigiosi premi e riconoscimenti.

Non tratteremo in questa sede, ovviamente, della storia e delle origini, che può comunque essere reperita in abbondanza sulla Rete, ma ci soffermeremo sulle grandi potenzialità di calcolo e sull’enorme risparmio di tempo computazionale che essa offre, per la risoluzione dei problemi.

La matematica vedica si riferisce a 16 aforismi presenti nei testi sacri, scritti in sanscrito che stanno alla base dell’induismo.

I 16 aforismi, intesi come regole per effettuare i calcoli matematici,  sono i seguenti:
  • Per uno più dell’uno precedente;
  • Tutti dal 9 e l’ultimo dal 10;
  • In Verticale e in Diagonale;
  • Trasponi e Applica;
  • Se la Samuccaya è la Stessa, è Zero;
  • Se Uno è in Rapporto, l’Altro è Zero;
  • Per Addizione e per Sottrazione;
  • Per Completamento o Non-Completamento;
  • Calcolo Differenziale;
  • Per Difetto;
  • Specifico e Generale;
  • I resti per l’Ultima Cifra;
  • L’Ultimo e Due Volte il Penultimo;
  • Per Uno Meno dell’Uno Precedente;
  • Il Prodotto della Somma;
  • Tutti i Moltiplicatori.
In effetti l’approccio matematico è molto diverso dal nostro. Tramite questi “trucchi” la matematica può essere compresa in poco tempo e in tutte le età. Il sistema su cui si basa la matematica vedica è molto strano, ma con pochi calcoli e un tempo relativamente basso anche le più difficili operazioni algebriche possono essere risolte brillantemente.
Esistono molti trattati su questa tipologia di approccio, addirittura l’occidente sta creando nuove scuole che prevedono l’adozione di questa nuova/antica disciplina.
Lo scoglio primario è quello di scegliere un Sutra (aforisma) adatto a risolvere un determinato problema. A volte è possibile che ne esistano più di uno, adatti allo stesso scopo. Tali aforismi possono essere applicati in una grande varietà di situazioni, reali e teoriche.
Quadrato di un numero che termina per “5”
Applicando correttamente uno dei 16 aforismi sopraelencati, è possibile calcolare (anche a mente) l’elevazione al quadrato di un numero terminante per la cifra “5”. Ad esempio, si vuol calcolare il quadrato di 85 (85 x 85).
Le ultime due cifre del risultato sono sempre “25”, dal momento che il prodotto del finale è 25 (5 x 5). Per le cifre iniziali, basta prendere la prima cifra “8” e moltiplicarla per il suo “successivo” (cioè “9”). Pertanto 85 x 85 = 7225.
Allo stesso modo si possono calcolare altri quadrati.
Per esempio 45 x 45: cifre finali: 25, cifre iniziali: 4×5=20, quindi 2025.
Per esempio: 135 x 135: cifre finali: 25, cifre iniziali: 13×14=182, quindi 18225.
Moltiplicazione per 11
Anche questo metodo è molto semplice e consente di ottenere risultati sbalorditivi, anche per un numero elevato di cifre. Per effettuare una moltiplicazione di un numero di due cifre per 11, basta sommare le singole cifre del moltiplicatore e inserire il risultato tra le due stesse cifre. Un esempio chiarirà subito le idee.
Si debba effettuare la moltiplicazione 35 x 11. Il risultato è composto dai numeri 3 e 5, e in mezzo la loro somma, ossia otto. Quindi 35 x 11 = 385.
Un altro esempio: 42 x 11: tra il 4 e il 2 inserire la somma (6), quindi 462.
Con una leggera modifica si può estendere il calcolo a qualunque numero di cifre del moltiplicatore. I risultati sono straordinari ed il tempo di esecuzione è estremamente basso. In più, eseguendo tale procedura, si può fare sicuramente una bella figura con amici e parenti.
Esempio: si debba eseguire la moltiplicazione di 1.634.727 x 11.
Guardando il moltiplicando da destra a sinistra, si eseguano le seguenti somme unarie, generando le cifre del risultato:
7
9 (7+2)
9 (7+2)
1 (7+4=11, scrivo 1 e riporto 1)
8 (3+4+1 di riporto precedente)
9 (3+6)
7 (6+1)
1
Quindi il risultato finale di 1.634.727 x 11 è 17.981.997. Un metodo incredibile. La figura sottostante chiarisce ulteriormente il concetto.
Quadrato di un numero a due cifre
Questo metodo, seppur comodo, può risultare più oneroso del calcolo vero e proprio del quadrato stesso. Ad ogni modo esaminiamone i dettagli, per curiosità. Allo scopo occorre eseguire alcuni semplici passaggi.
Esempio: si debba calcolare il quadrato di 64 (64 x 64).
  1. Del numero dato, occorre trovare il multiplo di 10 più vicino (in questo caso 60). E’ interessante notare che anche il multiplo di 10 superiore (70) può anche andar bene.
  2. Si consideri la differenza del numero dato (64) con il multiplo di 10 (60). In questo caso la differenza è pari a 4.
  3. Si esegua la moltiplicazione (64+4) x (64-4) = 68 x 60 = 4080.
  4. Si sommi al risultato (4080) il quadrato della differenza (16).
  5. Il risultato finale è 64 x 64 = 4096.

Il bello del metodo è che l’utente può scegliere, come multiplo di 10 più vicino, anche il superiore, per esempio 70. In questo caso i passaggi portano ai seguenti risultati:

  1. Del numero dato, occorre trovare il multiplo di 10 più vicino (esempio 70).
  2. Si consideri la differenza del numero dato (64) con il multiplo di 10 (70) . In questo caso la differenza è pari a 6.
  3. Si esegua la moltiplicazione (64+6) x (64-6) = 70 x 58 = 4060.
  4. Si sommi al risultato (4060) il quadrato della differenza (36).
  5. Il risultato finale è 64 x 64 = 4096.
Come si vede, il metodo è ambivalente.
Una variazione interessante è quella che prevede il raggiungimento di una determinata “base” superiore e l’effettuazioni di alcuni semplici calcoli. Solo un esempio può chiarire l’idea.
Esempio: si debba elevare al quadrato il numero 91 (91 x 91). Le fasi da eseguire sono le seguenti:
  1. Trovare la “base” di lavoro superiore (10, 100, 1000, ecc). In questo caso la base è 100.
  2. Trovare la differenza tra la base ed il numero da elevare: 100-91=9.
  3. Trovare il quadrato della differenza: 9 x 9 = 81. Queste due cifre costituiranno la parte finale del risultato.
  4. Si effettui la differenza tra il numero da elevare (91) e la differenza alla base (9). Pertanto 91-9 = 82. Il risultato è la parte iniziale dell’elevazione al quadrato.
  5. Il risultato finale sarà, dunque, 8281.

Ovviamente esistono alcune eccezioni, in caso di riporto, che bisogna considerare nei calcoli.

 

La matematica Vedica ha un grande valore didattico e culturale. Gli studenti adorano eseguire velocemente (anche a mente) i calcoli matematica e tale passione sta per diffondersi anche in occidente. Con il nostro sistema tradizionale si ha, almeno in teoria, un pieno controllo della situazione di calcolo. Chi esegue l’operazione algebrica controlla perfettamente tutti i passaggi e comprende i vari passi. Con la matematica Vedica, invece, le singole operazioni sono più oscure e misteriose, quasi senza un apparente significato logico e concettuale. In ogni caso, trattasi di metodologie interessanti che riscuotono una curiosità particolare. Anche il grande matematico Fibonacci utilizzava parzialmente le tecniche riportate nell’aforisma 3.

 

Moltiplicazione per 9, 99, 999, ……

La prossima tecnica è realmente impressionante. Una semplice sequenza di operazioni molto facili che ci permettono di moltiplicare qualsiasi numero per 9, 99, 999, eccetera. Iniziamo subito con un esempio.

Si debba moltiplicare 999 x 343 = 342657. Il risultato, in questo caso, sarà composto da sei cifre. Si proceda in questo modo:

  • Le prime tre cifre del risultato saranno quelle del moltiplicatore, diminuito di 1 (343-1=342).
  • Le ultime tre cifre saranno pari a quelle del moltiplicando diminuite del moltiplicatore + 1 (999-343+1=657).

Tale metodo, che lascia di stucco chiunque, permette di calcolare velocemente anche numeri composti da tantissime cifre. Inoltre, il sottrarre il numero 343 da 999 è estremamente semplice, basta infatti togliere da ogni nove la corrispondente cifra.

 

Sottrazione da 10, 100, 1000, 10000, ecc

Anche questo tipo di sottrazione è ingegnosa e semplice al tempo stesso. Cronometro alla mano, i tempi di calcolo sono estremamente veloci, anche del 100% rispetto alla tecnica tradizionale.

Si supponga di dover effettuare la seguente sottrazione:

100.000-87.326.

A scuola abbiamo imparato che, iniziando da destra, occorre effettuare la sottrazione della cifra soprastante meno la cifra sottostante. Se essa è negativa si chiede, in prestito, un’unità dalla cifra di sinistra. Tutto ciò potrebbe incidere sulla velocità finale dell’operazione nonchè sulla precisione del calcolo stesso. E’ molto facile, infatti, dimenticarsi del riporto.

La tecnica dei Veda è invece molto semplice e precisa. Il risultato della sottrazione è calcolato prendendo la distanza delle cifre stesse da 9. Per l’ultima cifra si aggiunge 1. Si può pure ragionando da sinistra a destra. Considerando il sottraendo, il risultato va calcolato nel seguente modo:

da 8 a 9 = 1

da 7 a 9 = 2

da 3 a 9 = 6

da 2 a 9 = 7

da 6 a 9 = 3 + 1

Quindi:

12674

Con la pratica i tempi di computazione possono raggiungere valori estremamente bassi.

 

Considerazioni

L’occidente, e specialmente gli Stati Uniti, stanno promuovendo campagne di scolarizzazione per diffondere la matematica vedica nelle scuole. Molti insegnanti indiani sono stati, infatti, reclutati per lo scopo.

La sorprendente velocità di esecuzione dei calcoli è alla base del sistema. Quando in TV si vedono piccoli geni, che eseguono in pochi secondi operazioni matematiche gigantesche, si deve pensare che, alla base dell’indubbia elasticità mentale c’è una grande raccolta di tecniche per sveltire il processo di esecuzione.

Molti dipartimenti di matematica occidentale si mostrano in realtà molto diffidenti nei metodi indiani. Alla base c’è un certo timore e una dose di paura del mistero e della presunta non scientificità nel sistema vedico. Svariati docenti del settore affermano che tale disciplina sia solo una raccolta di piccoli “trucchetti”, magie ed artifizi vari, ma nulla di più. Ma essa funziona alla perfezione.

Nel piccolo, ognuno di noi può sfruttare a proprio vantaggio la matematica vedica, nel lavoro, a scuola e nella società in generale. Non è necessario imparare a memoria l’intera collezione di corollari, suddivisi a loro volta in centinaia di sotto-argomenti. Basta conoscere bene qualche aforisma e padroneggiarlo, con la pratica, alla perfezione. Ma il sapere che le operazioni matematiche possono essere velocizzate e ridotte all’osso è una possibiltà che apre molti orizzonti.

 

GDM

 

 

 

 

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8 Comments

  1. Boris L. 5 luglio 2013
  2. Giovanni Di Maria gio22 5 luglio 2013
  3. davidessss 11 luglio 2013
  4. Giovanni Di Maria gio22 23 luglio 2013
  5. davidessss 24 luglio 2013
  6. Domenico Ermellino 27 gennaio 2014
  7. Giovanni Di Maria gio22 27 gennaio 2014
  8. Domenico Ermellino 27 gennaio 2014

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