Compressed Sensing: differenze con le normali tecniche di campionamento

Eccoci a parlare di una grandiosa tecnica che consente di ridurre la frequenza di campionamento, la frequenza con cui i campioni del segnale arrivano ai processi successivi della catena di misura: i blocchi di acquisizione. Si tratta di una tecnica recente, alla ribalta solo negli ultimi anni. Capiremo cosa sia il compressed sensing, il perché si parli di sensing e non di campionamento, introducendo l’analisi dal contesto storico fino all’utilizzo nel campionamento dei segnali. Ogni definizione di carattere teorico sarà corredata da un esempio pratico in modo da chiarire possibili dubbi o incomprensioni. Confronteremo questa tecnica con il campionamento a banda costante (teorema di Nyquist-Shannon) ed il campionamento passa banda analizzando come sia possibile, ed a che condizioni, ridurre la frequenza di campionamento. Il tutto si traduce nella diminuzione del costo dell’intero sistema di misura, la cui componente più costosa è la memoria di acquisizione. Il blocco all'interno del quale sono presenti i campioni del segnale che vengono utilizzati nell'elaborazione che avviene successivamente. Per completare la trattazione illustreremo le maggiori e sostanziali differenze tra la memoria presente all’interno dei normali calcolatori e quella, invece, utilizzata all’interno dei sistemi di misura. Giusto per contestualizzare i vantaggi di questa tecnica.

 

Il Contesto Storico

Per comprendere dove si colloca storicamente il compressed sensing è necessario prima introdurre la norma L1, particolarizzazione dello spazio Lp ovvero lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabili. Si tratta di uno spazio di funzioni i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili. Non è compito di questo articolo approfondire l’argomento, si rimanda ciò al lettore più curioso.

Tanti campi scientifici hanno utilizzato tecniche basate sullo spazio L1. Ad esempio, in statistica il metodo dei minimi quadrati, introdotto da Laplace; in statistica computazionale l’introduzione della programmazione lineare e dell’algoritmo del simplesso.

Anche nell'analisi dei segnali ritroviamo l’utilizzo della norma L1. Ad esempio, nel 1970 fu utilizzata dai sismologi che riuscirono, attraverso di essa, a costruire immagini degli strati riflettenti posti all’interno della terra. Le immagini furono realizzate su dati che sembravano non soddisfare il criterio di Nyquist-Shannon.

Solo nel 1993 si inizia a parlare del binomio norma L1 e compressed sensing. La norma fu adoperata in svariate tecniche numeriche, come quella del matching pursuit, capaci di recuperare soluzioni sparse, in cui il tipo e il numero di misurazioni richieste sono sub-ottimali. Il compressed sensing consentì di migliorare gradatamente le tecniche, in alcuni casi raggiungendo l’ottimo.

Attorno ai primi anni 2000, i ricercatori scoprirono importanti risultati sul numero minimo di dati necessari per ricostruire un’immagine, nonostante questo numero fosse insufficiente sulla base del criterio di Nyquist-Shannon, era possibile attraverso il compressed sensing avviare la ricostruzione senza perdita di informazione.

Abbiamo citato pochi concetti, che rimandano ad ulteriori approfondimenti, per inquadrare dove si colloca e perché viene utilizzata questa tecnica. Saranno più chiari, nel corso dei successivi paragrafi, i vantaggi derivanti dall'utilizzo.

 

Le Caratteristiche

La prima cosa che salta all'occhio, nell'analizzare questa tecnica, è il suo stesso nome: “compressed” e “sensing”, due parole completamente diverse da quella di “campionamento”. Analizziamole con calma.

La parola “sensing”, letteralmente “percezione”, fa presagire la presenza di contenuto informativo del segnale in piccole misurazioni. A tale proposito parleremo di segnali sparsi.

La parola compressed, divenuta oramai d’uso comune nella maggior parte dei campi dell’informatica e delle telecomunicazioni, ci fa comprendere il grosso sforzo che si fa nel ridurre l’ingombro delle informazioni. Tanti sono i campi in cui si rende necessaria questa compressione, ad esempio, basti pensare a quello – già citato nel contesto storico – delle immagini. Dunque, l’idea è quella di portare concetti alla base della compressione al campionamento.

Partendo, sempre, da concetti intuitivi pensiamo alla compressione delle immagini. In questo caso, l’idea è quella di tirar fuori (dalle immagini) solo le informazioni significative tralasciando le altre. Con il termine significative vogliamo indicare le informazioni contenute all'interno di un certo dominio.

A questo punto, la cosa importante da capire è quale sia il giusto dominio. Tornando al caso delle immagini, devo trovare la trasformazione di colore che mi consente di massimizzare alcune componenti in modo da annullare le altre.

L’idea quindi è quella di cercare una trasformazione, tipicamente lineare (una matrice) che mi consenta di massimizzare le componenti del segnale su alcuni spazi e di proiettarle su dei sottospazi.

 

Il Campionamento Passa Banda

Prima di proseguire oltre con il compressed sensing è bene, per chi non la conoscesse, introdurre la tecnica del campionamento passa banda delineando le differenze e le caratteristiche rispetto al criterio di Nyquist-Shannon.

La tecnica di campionamento passa banda (band-pass sampling) sfrutta al contrario di altre, che basano la capacità di ridurre la frequenza di campionamento sulla periodicità del segnale, il fatto che il segnale sia concentrato all'interno di una frequenza ben definita.

Il vantaggio di questo metodo lo si percepisce guardando lo spettro (Figura 1) di un segnale sinusoidale, la cui frequenza è pari a 2KHz, in particolare il suo modulo.

Si tratta di un segnale il cui spettro è molto concentrato: il contenuto spettrale è presente in due soli punti (-2KHz e 2KHz). In questo caso, se utilizzassi il criterio di Nyquist-Shannon per il campionamento del segnale (f≥ 2B, dove fc è la frequenza di campionamento e B è la banda del segnale), dovrei scegliere una frequenza almeno pari a 4KHz. Tutto perché voglio evitare il fenomeno dell'aliasing, ovvero la sovrapposizione delle repliche del segnale che in fase di ricostruzione mi comporterebbero perdita di informazione.

La domanda che, a questo punto, sorge spontanea: dato che non vi è contenuto informativo tra 0 e 2KHz, non posso in qualche modo ridurre la frequenza di campionamento? Certo, utilizzando il campionamento passa banda.

Spettro Sinusoide

Figura1: Spettro Sinusoide a frequenza 2KHz.

 

Per capire come sia possibile ridurre la frequenza di campionamento prendiamo in [...]

Iscriviti e ricevi GRATIS
Speciale Pi

Fai subito il DOWNLOAD (valore 15€) GRATIS

ATTENZIONE: quello che hai appena letto è solo un estratto, l'Articolo Tecnico completo è composto da ben 2535 parole ed è riservato agli abbonati PLATINUM. Con l'Abbonamento avrai anche accesso a tutti gli altri Articoli Tecnici MAKER e PLATINUM e potrai fare il download (PDF) di tutti gli EOS-Book, Firmware e degli speciali MONOTEMATICI. ABBONATI ORA, è semplice e sicuro.

Abbonati alle riviste di elettronica

7 Commenti

  1. Emanuele Bonanni Emanuele 24 aprile 2015
    • Giuseppe Silano 25 aprile 2015
  2. MarcoSAV 25 aprile 2015
  3. Stefano.Fausti 25 aprile 2015
    • Giuseppe Silano 25 aprile 2015
  4. ioan.tudosa 9 maggio 2015

Scrivi un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Iscriviti e ricevi GRATIS
Speciale Pi

Fai subito il DOWNLOAD (valore 15€) GRATIS