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Il PID: dall’analisi matematica al dsPIC

In moltissime applicazioni, dal consumer all’industria alle più avanzate funzioni del medicale, si utilizza come riferimento per l’automazione ed il controllo il PID, ossia un particolare algoritmo di controllo che consente di avere rapidità di azionamento, assenza di errore a regime e controllo sulla variazione dei segnali.

Introduzione analitica

PID è l’acronimo  che sta ad identificare le parole Proporzionale, Integrale e Derivativo. Questi tre aggettivi identificano tre diverse tipologie di algoritmi  che consentono  di  osservare e controllare  un qualsiasi sistema di azionamento. Innanzitutto,  per poter comprendere cosa sia e come agisca un PID, bisogna avere una rappresentazione analitica del sistema da controllare.  Solo in  questo modo  sarà possibile realizzare un studio analitico che consenta di ottimizzare il controllo già “sulla carta”. In assenza di una rappresentazione analitica del sistema, saranno le sole prove empiriche a poter  garantire delle performance ottimali per il nostro controllo. Si consideri il sistema da controllare caratterizzato da una Funzione di Trasferimento P(s). Come si vede la variabile in gioco è “s”,  che significa che si sta operando nello spazio delle trasformate di Laplace, utilizzate per caratterizzare un  sistema per il suo comportamento in frequenza. Se consideriamo U(s) quale ingresso del sistema e Y(s) l’uscita, possiamo inserire nel controllo un blocco chiamato R(s), che è appunto il controllore PID. Come si vede, si è considerato un ingresso costante nel tempo U/s, che consente di alleggerire la trattazione matematica. Con riferimento alla figura 1.

Figura 1. Schema a blocchi di un sistema controllato da PID

Figura 1. Schema a blocchi di un sistema controllato da PID

si può vedere che l’ingresso del blocco PID è costituito dalla differenza fra ingresso del sistema ed uscita del sistema, ossia dall’errore. Il blocco in retroazione 1/k rappresenta un coefficiente moltiplicativo che costituisce il trasduttore dell’uscita. La funzione additiva Z(s), infine, costituisce il rumore che inevitabilmente si introduce fra l’uscita del PID e il sistema da controllare. La funzione matematica dell’uscita nel dominio  di Laplace è quella riportata in figura 2.

Figura 2. Funzione di rappresentazione dell’uscita del sistema nel dominio di Laplace

Figura 2. Funzione di rappresentazione dell’uscita del sistema nel dominio di Laplace

La W(s) è appunto  la funzione di trasferimento del PID, che ingloba la R(s), e gli effetti che questo blocco ha sul sistema P(s). A titolo di esempio, andiamo a studiare un sistema da controllare la cui funzione di trasferimento sia asintoticamente stabile. Una funzione di trasferimento si dice asintoticamente stabile quando essa non converge ad un valore, ma oscilla all’infinito attorno a questo valore senza mai centrarlo. In figura 3 una immagine esemplificativa di risposta ad un ingresso a gradino unitario da parte di un sistema di questo tipo (nell’ipotesi che il valore dell’uscita a regime debba essere pari ad 1).

Figura 3. Il sistema da controllare

Figura 3. Il sistema da controllare

Controllore P:

Come detto, il sistema di controllo PID è costituito da tre componenti.  La componente proporzionale consiste in pratica nella semplice moltiplicazione dell’errore per un opportuno  coefficiente, chiamato Kp (si ricorda che l’errore è la differenza fra ingresso e uscita  del  sistema). Questa componente  garantisce al sistema una banda passante più elevata, quindi una maggior  reattività  alle variazioni. Oltre a questo la componente  proporzionale rende il sistema più immune ai disturbi e alle variazioni parametriche, dal momento che “esalta” il solo valore della differenza fra ingresso ed uscita. Il suo difetto è che la stabilità del sistema può risultare diminuita, dal momento che il controllo può uscire dai margini di stabilità. Oltre a questo, non si garantisce al sistema l’annullamento dell’errore a regime, ossia non è detto che il sistema “centri” il valore desiderato per l’uscita Y(s). La W(s) nel caso di un controllo proporzionale sarà quella di figura 4.

Figura 4. Funzione di trasferimento di un controllore P

Figura 4. Funzione di trasferimento di un controllore P

Nell’esempio del sistema precedente, l’applicazione di un controllo proporzionale pari a Kp=9 ha l’effetto di smorzare le oscillazioni a regime, di rendere molto più rapido l’assestamento dell’uscita attorno al valore finale, di ridurre di molto la massima sovraelongazione, ossia il rapporto fra il massimo valore e il valore desiderato. Il problema che si riscontra è nel valore cui si assesta l’uscita, ossia 0,8, diverso dal desiderato 1. In figura 5 l’andamento  dell’uscita in risposta al gradino, del sistema così modificato.

Figura 5. Il sistema con un controllore P

Figura 5. Il sistema con un controllore P

Controllore PI:

Il controllore PI aggiunge alla funzione proporzionale la funzione integrativa. Quest’ultima, come accennato, annulla del tutto gli effetti dei disturbi e delle variazioni parametriche sull’uscita del sistema. Ciò significa che la parte più consistente della correzione è a carico della parte proporzionale, mentre la parte di raffinazione è affidata alla parte integrale. Chiaramente, questo significa che se il valore desiderato  per  l’uscita  è 1,  quest’ultimo  sarà raggiunto senza errore grazie agli effetti del controllore  PI. Di contro, però, la banda passante del sistema e, di conseguenza, i margini  di fase del sistema controllato sono ridotti  di 90°, a causa dell’azione ritardatrice dell’operatore matematico integrale Ki/s. In figura 6 la funzione di trasferimento di un controllore PI.

Figura 6. Funzione di trasferimento di un controllore PI

Figura 6. Funzione di trasferimento di un controllore PI

Nell’esempio del sistema preso in esame precedentemente,  l’effetto  di  una costante proporzionale Kp pari a 8,1 e di una costante integrativa Ki pari a 4,76, è la totale correzione dell’errore a regime (si noti che il valore raggiunto  dall’uscita a regime è pari ad 1 come mostra la figura 7).

Figura 7. Il sistema controllato da un PI

Figura 7. Il sistema controllato da un PI

La velocità del sistema, però,  rimane sempre abbastanza limitata,  dal momento che il segnale risulta assestato entro l5% dal valore di regime in 7-8 secondi.

Controllore PD:

Il controllore  PD unisce alle già citate funzionalità garantite dal termine proporzionale la capacità di “prevedere” l’andamento dell’errore garantita dal termine derivativo. Quest’ultimo,  infatti,  analizza la differenza fra l’errore del tempo T-1 e quello del tempo attuale, andando a correggere a seconda che questa differenza sia crescente o decrescente. I vantaggi del termine derivativo corrispondono ad un miglioramento di 90° del margine di stabilità, grazie all’effetto anticipatore del termine Kd*s. Questo corrisponde anche ad una riduzione della massima sovraelongazione e del tempo  di  assestamento, garantendo quindi un miglior andamento dell’uscita ed uno stress ridotto a carico del sistema controllato. Di contro,  però, il termine  derivativo enfatizza gli effetti delle componenti  ad alta frequenza, compreso dunque il rumore. Proprio per questa sua caratteristica, il  controllore  PD non  viene mai  utilizzato quasi mai. In figura 8 gli effetti di un controllore PD sul sistema in esame. La costante proporzionale Kp vale 9 e la costante derivativa Kd vale 3,6.

Figura 8. Il sistema controllato da un PD

Figura 8. Il sistema controllato da un PD

Come si può notare, rimane la presenza di un errore a regime, dal momento che il valore raggiunto è 0,8. Di contro, però, si ha una sovraelongazione pressoché nulla e un tempo di assestamento inferiore a 5 secondi, con un miglioramento  del 40% rispetto ai casi precedenti.

Controllore PID:

Il controllore PID unisce i pregi dei controllori precedentemente analizzati e, grazie all’effetto di cancellazione dei poli-zeri che si ottiene dalla combinazione delle componenti  integrale e derivativa, realizza un contenimento degli effetti “indesiderati”  citati in precedenza. Nella pratica, il PID è il sistema di controllo utilizzato nella stragrande maggioranza dei casi. Il sistema controllato  presenta debole sovraelongazione, tempo di assestamento abbastanza contenuto,  grazie  anche  alle  scarse oscillazioni  del segnale in uscita, oltre che assenza di errore a regime. In figura 9 la funzione di trasferimento.

Figura 9. Funzione di trasferimento di un PID

Figura 9. Funzione di trasferimento di un PID

In figura 10 la risposta del sistema, con un controllo proporzionale con costanti pari a Kp=10,8, Kd=2,7 e Ki=10,8.

Figura 10. L'uscita del sistema controllato da un PID

Figura 10. L'uscita del sistema controllato da un PID

Il PID in un dsPIC Microchip

Passando dall’analisi matematica al mondo pratico, è possibile implementare un controllore PID operante in real time su un sistema fisico, come ad esempio un motore,  utilizzando  un microcontrollore  dotato  di una potenza di calcolo medio alta. È questo il caso dei dsPIC30F e dei dsPIC33F di Microchip, che grazie alla capacità di eseguire la MAC (Multiply  And Accumulate) in un unico ciclo macchina, sono in grado di gestire i complessi calcoli che stanno dietro alla analisi matematica di un PID senza perdere in efficienza. Ragionando dunque su un sistema fisico quale  un  motore  Brushless in  corrente  continua dotato di sensori di Hall per il rilevamento della velocità, la rappresentazione a blocchi del sistema può essere quello di figura 11.

Figura 11. Schema a blocchi di un controllo motore con PID

Figura 11. Schema a blocchi di un controllo motore con PID

Come si vede, il Set Point è costituito dalla velocità desiderata per il motore, che in un caso pratico potrebbe essere ottenuta da un potenziometro, o da un pedale. Questo valore viene poi sottratto alla velocità attuale del motore, grazie al calcolo di velocità operato dal dsPIC che legge tramite gli ADC i sensori di Hall posti sul motore stesso. Questa differenza di velocità costituisce appunto la grandezza standard di ingresso per un PID, ossia l’errore. Questo errore viene trasformato dal PID in una tensione, che è la grandezza con cui vengono pilotati gli avvolgimenti del motore stesso, con l’obiettivo di correggere l’errore fino ad annullarlo. Andando ad “aprire” il blocchetto PID, si può suddividere il suo funzionamento in tre diverse componenti,  che sono per l’appunto le tre diverse caratteristiche analizzate in precedenza dal punto di vista analitico (figura 12).

Figura 12. Il blocco PID

Figura 12. Il blocco PID

La trasformata di Laplace utilizzata nell’analisi matematica, è caratterizzata da una variabile s che, come visto, è tempo continua. Nel microcontrollore chiaramente una variabile di questo tipo non è rappresentabile, per cui gli analitici hanno realizzato una variabile tempo discreta, “z”,  tramite la quale si possono controllare le grandezze in esame senza perdere in sensibilità, a patto che gli slot temporali siano sufficientemente piccoli (ecco perché si richiede un microcontrollore  di elevata potenza). In figura 13 sono riportati i singoli componenti del PID nello spazio delle trasformate Z.

Figura 13. I componenti di un PID nello spazio della trasformata Z

Figura 13. I componenti di un PID nello spazio della trasformata Z

Similmente a quanto visto nella trasformata di Laplace, si individua la componente di ritardo di fase presente nel termine integrale e quella di anticipo di fase presente nel termine derivativo. Queste due componenti utilizzano il termine z-1, che corrisponde ad un quanto temporale. La somma dei tre termini sopra riportati conduce, dopo semplici passaggi matematici, al risultato di figura 14.

Figura 14. Il PID nella sua forma analitica in trasformata Z

Figura 14. Il PID nella sua forma analitica in trasformata Z

Si tratta dunque di una combinazione di somme e prodotti che, come detto, sono facilmente implementabili in un dsPIC. La possibilità di realizzare una somma ed un prodotto  in un unico ciclo macchina, per giunta, rende ancor più snella la gestione di questa operazione analitica, consentendo la possibilità di gestire segnali che variano assai rapidamente nel tempo.

Il PID a livello macchina

Ecco dunque cosa accade, a livello logico, all’interno  del dsPIC. Come si vede dalla figura  15,  un potenziometro esterno fissa il Set Point di velocità, nel caso di questo esempio.

Figura 15. Schema logico del controllo con PID

Figura 15. Schema logico del controllo con PID

Segue poi lo schema visto  in  precedenza, con  il  PID che  analizza la grandezza “errore”  e genera delle tensioni di riferimento per il generatore Motor Control PWM (rif. Articolo di Maurizio Del Corso, Firmware n.2). Dal motore torna un feedback dai sensori di Hall, che grazie alla caratteristica del Timer1 di esser sensibile al cambiamento di fronte (Change Notification), dà una informazione sulla posizione angolare del motore in un dato momento. Oltre a questo, grazie agli Input  Capture, si può  ricavare il  calcolo della velocità, necessario a ricostruire la grandezza Errore per l’ingresso PID. La grandezza “Velocità Misurata” è calcolata come il rapporto fra il minimo periodo misurato e il periodo effettivo di base dell’Input  Capture. Questo calcolo, com’è chiaro, deve avvenire in tempi rapidissimi, dal momento che alcuni motori (trapani per dentista, controlli per la robotica) viaggiano a velocità  angolari  superiori  ai 10.000 giri al minuto. Nel listato 1 si riportano alcune porzioni di firmware, scritto in C per il compilatore Microchip  C30.

void __attribute__((__interrupt__)) _T1Interrupt (void)
{
      IFS0bits.T1IF = 0;
      Period = ActualCapture - PastCapture;          //Unsigned substraction
      if (Period < (unsigned int)MINPERIOD)         // MINPERIOD = 6000 rpm
             Period = MINPERIOD;
      else if (Period > (unsigned int)MAXPERIOD)    // MAXPERIOD = 60 rpm
             Period = MAXPERIOD;

      // This sub in assembly calculates the Speed using fractional division
      //                                        MINPERIOD
      // Speed = (Fractional divide) ---------------
      //                                      Period

     SpeedCalculation();
     SpeedAbsValue = Speed;

     // Speed sign adjustment based on current motor direction of rotation
     if (Current_Direction == CCW)
            Speed = -Speed;

     // Condition        RPM           SFRAC16     SINT       HEX
     // Max Speed CW  -> 6000 RPM  -> 0.996805 -> 32663  -> 0x7F97
     // Min Speed CW  -> 60 RPM    -> 0.009984 -> 327    -> 0x0147
     // Min Speed CCW -> -60 RPM   -> -0.009984 -> -327  -> 0xFEB9
     // Max Speed CCW -> -6000 RPM -> -0.996805 -> -32663 -> 0x8069

     // Speed PID controller is called here. It will use Speed, RefSpeed, Some
    // buffers and will generate the new voltage for the SVM.
    SpeedControl();

   // Set minimum ControlOutput to 10% to keep the motor running
   if (ControlOutput < 3276)
           ControlOutput = 3276;

   MotorStalledCounter++;         // This variable is cleared in halls ISRs
   if ((MotorStalledCounter % _10MILLISEC) == 0)
    {
          ForceCommutation();
//Force Comm. if no hall sensor changes have occured in specified timeout.
     }
     else if (MotorStalledCounter >= _100MILLISEC)
     {
            StopMotor();
// Stop motor is no hall changes have occured in specified timeout
      }
      return;
}


_SpeedCalculation:
      MOV __MINPERIOD, W8
      MOV _Period, W9
      REPEAT #17
      DIVF W8, W9
      MOV W0, _Speed
      RETURN

_SpeedControl:
      BSET CORCON, #SATA ; Enable Saturation on Acc A
      ; Init Pointers
      MOV #_ControlDifference, W8
      MOV #_PIDCoefficients, W10
      MOV #_RefSpeed, W1
      MOV #_Speed, W2
      MOV #_ControlOutput, W0
      ; Calculate most recent error with saturation, no limit checking required
      LAC [W1], A
      LAC [W2], B
      SUB A
      SAC A, [W8]
      ; Prepare MAC Operands
      MOVSAC A, [W8]+=2, W4, [W10]+=2, W5
      LAC [W0], A  ; Load Acc with last output
      ; Perform MAC
      REPEAT #2       ; Repeat 3 times
      MAC W4*W5, A, [W8]+=2, W4, [W10]+=2, W5
      ; Store result in ControlOutput with saturation
      SAC A, [W0]
      BCLR CORCON, #SATA  ; Disable Saturation on Acc A
      MOV #_ControlDifference, W8
      MOV [W8+2], W2        ;ControlDifference[2] = ControlDifference[1]
      MOV W2, [W8+4]
      MOV [W8], W2  ;ControlDifference[1] = ControlDifference[0]
      MOV W2, [W8+2]
      RETURN;

La prima porzione di firmware consente di recepire l’informazione  nei  pin  impostati come Input Capture e di analizzarne i contenuti:  si notino in particolare la limitazione della rotazione al range [60…6000] giri al minuto, il calcolo di velocità dal Input Capture, la gestione della Force Commutation se il PID non recepisce variazioni dai sensori di Hall e per finire la procedura di controllo della velocità, cioè del PID vero e proprio. Sia la “Speed Calculation” che la “Speed Control” sono scritte in Assembly, al fine di ridurre quanto più possibile il tempo di esecuzione del calcolo della velocità e di esecuzione del PID.

2 Commenti

  1. Maurizio Di Paolo Emilio Maurizio 15 gennaio 2016
  2. Giuseppe Macera 15 gennaio 2016

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