Corso di Elettronica per ragazzi – Puntata 21

Con il progetto e la simulazione dell’amplificatore differenziale per strumentazione, nella precedente puntata abbiamo completato la fase introduttiva dello studio degli amplificatori operazionali. Nei precedenti articoli abbiamo spiegato il funzionamento dei più diffusi circuiti con amplificatori operazionali, come l’amplificatore invertente e non invertente, inseguitore di tensione, amplificatore sommatore, amplificatore differenziale e amplificatore differenziale per strumentazione. Più avanti nel corso affronteremo di nuovo gli amplificatori operazionali approfondendo lo studio e introducendo altri importanti parametri di questi amplificatori. In questo articolo, faremo un’esercitazione teorica mediante la quale vedremo come calcolare e progettare un amplificatore invertente costituito da un amplificatore operazionale reale.

Esercitazione - Amplificatore invertente con operazionale reale

Nelle precedenti puntate ci siamo occupati di circuiti con amplificatori operazionali ideali, ossia considerando l’amplificazione (o guadagno) di tensione ad anello aperto “A” di valore infinito, resistenza d’ingresso di infiniti ohm e la resistenza di uscita pari a 0 ohm. In alcuni casi è necessario progettare circuiti considerando l’amplificatore operazionale reale, ovvero tenendo conto dei valori dei suddetti parametri di valore finito, che sono specificati nei datasheet degli operazionali. In questa esercitazione vedremo come calcolare il guadagno di tensione ad anello chiuso e la resistenza d’ingresso e di uscita di un amplificatore invertente con operazionale reale e faremo il confronto dei risultati con l’amplificatore invertente ideale al fine di dimostrare che, nella maggior parte dei casi, i calcoli e i risultati di un progetto sono pressoché gli stessi, a meno di piccole non significative differenze.

Il circuito equivalente dell’amplificatore operazionale reale

Nella puntata “Corso di Elettronica per ragazzi - Puntata 18” avevamo dato la definizione di “amplificatore operazionale reale”, ovvero dell’operazionale funzionante in zona lineare in cui ai suoi ingressi sono applicati segnali di tensione molto bassi. In questa modalità operativa il circuito equivalente dell’amplificatore operazionale può essere rappresentato dallo schema mostrato in Figura 1.

Figura 1: Circuito equivalente dell’amplificatore operazionale reale

In questa esercitazione, nello schema del circuito equivalente di Figura 1, il circuito d’ingresso è costituito da una elevata resistenza Ri collegata ai terminali d’ingresso + e - dell’operazionale, mentre nel circuito di uscita è presente un generatore dipendente di tensione AVd controllato in tensione dalla Vd (il simbolo AVd deve intendersi il prodotto A*Vd in cui“A” è l’amplificazione di tensione dell’operazionale e Vd è la tensione differenziale Vd=v+ - v_). In serie al generatore controllato AVd è collegata una resistenza di uscita Ro di basso valore ohmico (in genere va da pochi ohm a qualche decina di ohm). Sia il circuito d’ingresso che di uscita sono riferiti a terra (GND), quindi tutti i valori di tensioni sono riferiti a GND.

Nel circuito amplificatore invertente di Figura 2 consideriamo reale l’amplificatore operazionale.

Figura 2: Schema elettrico dell’amplificatore invertente

Con riferimento al circuito equivalente di Figura 1, la resistenza d’ingresso Ri= 1 Mohm, l’amplificazione di tensione dell’operazionale A=105 (M=100.000), la resistenza di uscita Ro=10 ohm. I resistori R1 e R2 hanno rispettivamente la resistenza di 1 Kohm (K=1.000) e 2 Kohm. Tenendo conto di questi dati, vogliamo calcolare l’amplificazione di tensione Avg=Vo/Vg, ossia il guadagno di tensione dato dal rapporto fra la tensione di uscita Vo e la tensione Vg fornita dal generatore indipendente di tensione.
Innanzitutto, in Figura 3 riportiamo lo schema dell’amplificatore invertente sostituendo il simbolo dell’operazionale con il suo circuito equivalente.

Figura 3: Schema dell’amplificatore invertente con il circuito equivalente dell’operazionale reale

Prima di procedere con i calcoli è importante spiegare quanto segue.

Sappiamo che il generatore controllato AVd ha un valore di tensione corrispondente all’amplificazione della differenza fra la tensione del terminale positivo (v+) e quella del terminale negativo (v_) riferite a terra (GND):

A*Vd=A*(v+ - v_)

Dato che nell’amplificatore invertente di Figura 2 e Figura 3 il terminale positivo è collegato a GND, ovvero v+=0, si ha:

A*(v+ - v_)=A*(0 - v_) e dato che Vd si presenta fra v_ e GND:

A*(0 - v_)=A*(0-Vd) => AVd=-A*Vd

Pertanto, notiamo che il segno del generatore controllato AVd è opposto a quello effettivo, quindi, se preferiamo possiamo indicare AVd come mostrato in Figura 4, oppure lasciamo invariato il segno di AVd in quanto ne terremo conto durante i prossimi calcoli.

Figura 4: Amplificatore invertente con operazionale reale con il segno effettivo del generatore controllato di tensione AVd

Eseguiamo l’analisi nodale del circuito di Figura 3 applicando la Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC) al nodo “a” scegliendo come positive le correnti entranti nel nodo e negative quelle uscenti:

I-I1-I2=0

Si noti che la corrente I1 ha verso concorde al verso di Vd e la ricaviamo con la legge di ohm:

I1=Vd/Ri

Applichiamo la Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKV) alla maglia Vg-R1-Vd. Ricordiamo che la legge di Kirchhoff specifica che in una maglia la somma algebrica delle tensioni è nulla e che si sommano le tensioni di segno concorde e si sottraggono quelle di segno discorde:

Vg-R1*I-Vd=0 => R1*I=Vg-Vd => I=(Vg-Vd)/R1

Note I e I1 possiamo calcolare la corrente I2:

I2=I-I1=(Vg-Vd)/R1-Vd/Ri

In questa espressione sostituiamo I2 con “(Vg-Vd)/R1-Vd/Ri”:

Vo+R2*[(Vg-Vd)/R1-Vd/Ri]-Vd=0

Svolgiamo la moltiplicazione di R2:

Vo+R2*Vg/R1-R2*Vd/R1-R2*Vd/Ri-Vd=0

Riscriviamo questa uguaglianza mettendo in evidenza Vd:

Vo+R2*Vg/R1-Vd*(R2/R1+R2/Ri-1)=0

A questo punto, dobbiamo fare in modo che nella formula compaiano termini riconducibili all’amplificazione Vo/Vg. Pertanto, dobbiamo sostituire Vd con una espressione in cui ci sia Vo.

Calcolo di Vd

Applichiamo la LKV alla maglia Vo-R2-Vd:

Vo+R2*I2-Vd=0

Ora, dobbiamo ricavare la I2 applicando la LKV alla maglia Vo-Ro-AVd:

Vo-A*(-Vd)-Ro*I2=0 => Vo+A*Vd-Ro*I2=0

Come avete visto, abbiamo tenuto conto del segno effettivo di AVd.
Con la seguente relazione calcoliamo la I2:

I2=(Vo+AVd)/Ro

Quindi, andiamo a sostituire I2 nella precedente uguaglianza “Vo+R2*I2-Vd=0”:

Vo+R2/Ro*(Vo+A*Vd)-Vd=0

Svolgiamo le operazioni:

Vo+Vo*R2/Ro+A*Vd*R2/Ro-Vd=0

Mettiamo in evidenza Vo e Vd:

Vo*(1+R2/Ro)+Vd*(A*R2/Ro-1)=0

Ricaviamo Vd da quest’ultima espressione:

Vd=-Vo*(1+R2/Ro)/(A*R2/Ro-1)

Considerando che A*R2/Ro>>-1, possiamo riscrivere la formula di Vd in questo modo:

Vd=-Vo*(1+R2/Ro)/A*R2/Ro

In questa espressione svolgiamo la somma nelle parentesi e portiamo Ro del termine A*R2/Ro al numeratore:

Vd=-Vo*[(R2+Ro)/Ro]*Ro/A*R2

Vd=-Vo*(R2+Ro)/A*R2

Nota Vd, ora possiamo sostituirla con “-Vo*(R2+Ro)/A*R2” nella formula seguente:

Vo+Vg*R2/R1-Vd*(R2/R1+R2/Ri-1)=0

Vo+Vg*R2/R1+Vo*[(R2+Ro)*(R2/R1+R2/Ri-1)]/A*R2=0

Ora, mettiamo in evidenza Vo:

Vo*{1+[(R2+Ro)*(R2/R1+R2/Ri-1)]/A*R2}+Vg*R2/R1=0

Ricordiamo che l’obiettivo dell’esercitazione è di ottenere la formula dell’amplificazione di tensione dell’amplificatore invertente con operazionale reale, quindi dobbiamo fare in modo che in quest’ultima equazione compaia l’amplificazione Avg. Per questo, basta dividere gli elementi dell’uguaglianza per Vg:

Vo/Vg*{1+[(R2+Ro)*(R2/R1+R2/Ri-1)]/A*R2}+Vg*R2/Vg*R1=0

Avg*{1+[(R2+Ro)*(R2/R1+R2/Ri-1)]/A*R2}+R2/R1=0

A questo punto, otteniamo la formula di Avg:

Avg=-R2/R1/{1+[(R2+Ro)*(R2/R1+R2/Ri-1)]/A*R2}

Da quest’ultima formula, si noti che per A=∞ l’amplificazione è Avg=-R2/R1, il che ci porta al caso dell’amplificatore invertente con operazionale ideale!

In conclusione, abbiamo la formula generale del guadagno di tensione ad anello chiuso dell’amplificatore invertente con operazionale reale. La Figura 5 riporta la formula di Avg e il calcolo del guadagno con i valori dei componenti:

Figura 5: Formula del guadagno di tensione Avg

Resistenza d’ingresso e di uscita dell’amplificatore invertente con operazionale reale

Un amplificatore operazionale si interfaccia in ingresso con una sorgente di segnali e in uscita con un carico, quindi è molto importante conoscere la resistenza d’ingresso dell’operazionale “vista” dalla sorgente e la resistenza di uscita “vista” dal carico. In questa parte dell’esercitazione andremo a spiegare come calcolare la resistenza d’ingresso e di uscita dell’amplificatore invertente considerando i parametri del modello equivalente dell’operazionale reale, ossia la resistenza d’ingresso Ri≠∞, l’amplificazione di tensione ad anello aperto A≠∞, la tensione differenziale (v+ - v_) Vd≠0, la resistenza di uscita Ro≠0. I parametri di valore finito sono quelli che abbiamo già specificato nel circuito di Figura 4, ovvero Ri=1 MΩ, Ro=10 Ω, A=100000.

Resistenza d’ingresso

La Figura 6 mostra lo schema dell’amplificatore invertente con un carico collegato ai terminali di uscita dell’operazionale.

Figura 6: Schema dell’amplificatore invertente per il calcolo della resistenza d’ingresso

La resistenza d’ingresso Rin è la resistenza equivalente totale che “vede” la sorgente di tensione Vin, mentre la resistenza Rf è la resistenza equivalente che si presenta all’ingresso dell’operazionale ed è determinata dalla rete resistiva di feedback (retroazione) negativa. Quindi, la resistenza equivalente totale vista dalla sorgente Vin è:

Rin=R1+Rf

Pertanto, per ottenere il valore della resistenza d’ingresso dell’amplificatore invertente ci basta calcolare la resistenza equivalente Rf, dato che sappiamo che R1=1 KΩ.

Per calcolare la resistenza equivalente Rf ci serviremo ancora del modello equivalente dell’operazionale a cui abbiamo collegato il carico, ma non è presente la sorgente Vin e il resistore R1, come mostrato in Figura 7.

Figura 7: Circuito per il calcolo della resistenza equivalente Rf

Per ricavare Rf ipotizziamo che circoli una corrente di test It che generi una tensione Vt=It*Rf. Quindi, l’obiettivo è di giungere al risultato Vt/It=Rf.

Applichiamo la LKC al nodo “a” scegliendo positive le correnti entranti nel nodo e negative quelle uscenti:

It-I1-I2=0

Con la legge di Ohm calcoliamo la corrente I1 considerando il verso di Vt concorde al verso di circolazione della corrente I1:

I1=Vt/Ri

Per calcolare la corrente I2 applichiamo la LKV alla maglia Vo-R2-Vt:

Vo+R2*I2-Vt=0 => I2=(Vt-Vo)/R2

Sostituiamo le correnti I1 e I2 nella precedente equazione delle correnti e poi ricaviamo la It:

It-Vt/Ri-(Vt-Vo)/R2=0 => It=Vt/Ri+(Vt-Vo)/R2

Ora, applichiamo la LKC al nodo “b” dove questa volta la I2 è entrante nel nodo:

I2-IL-Io=0

Per ricavare Io applichiamo la LKV alla maglia Vo-Ro-AVd. Si consideri che Vd corrisponde alla tensione di test Vt, ricordandoci che AVd=A*(-Vd):

Vo-Ro*Io-A*(-Vt)=0 => Vo-Ro*Io+A*Vt=0 => Ro*Io=Vo-A*Vt

Ricaviamo Io:

Io=(Vo-A*Vt)/Ro

La corrente IL è la corrente che scorre in RL che calcoliamo con la legge di Ohm:

IL=Vo/RL

Quindi, calcolate le correnti Io e IL e già nota la I2 calcolata con la LKC applicata al nodo “a”, possiamo sostituirle nell’equazione delle correnti al nodo “b”:

I2-IL-Io=0 => (Vt-Vo)/R2-Vo/RL-(Vo-A*Vt)/Ro=0

In quest’ultima equazione moltiplichiamo i due termini dell’uguaglianza per -1:

(Vo-Vt)/R2+Vo/RL+(Vo-A*Vt)/Ro=0

A questo punto, abbiamo due espressioni in cui compaiono Vt nell’ultima formula, It nella seguente equazione che abbiamo già calcolato prima:

It=Vt/Ri+(Vt-Vo)/R2

Combinando queste due espressioni, eliminando Vo e dopo vari passaggi di calcolo che non mostreremo, otteniamo la formula riportata in Figura 8:

Figura 8: Formula della resistenza di feedback Rf

Il risultato di calcolo di Rf riportato in Figura 8 è espresso in “mΩ”, ossia in millesimi di Ω (1 m Ω=0,001 Ω). La Figura 9 riporta il calcolo di Rf con un basso valore di RL.

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